Bab 1

Sistem Persamaan Linear dan Pengantar Matriks

Aljabar linear dimulai dari pertanyaan paling sederhana: kapan sekumpulan persamaan linear memiliki solusi, dan bagaimana menemukannya? Bab ini memperkenalkan persamaan linear, sistem persamaan linear, representasi matriks, serta teknik eliminasi Gauss sebagai alat utama penyelesaian.

1.1 Persamaan Linear

Definisi 1.1 — Persamaan Linear

Persamaan linear dalam variabel $x_1, x_2, \ldots, x_n$ adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk umum:

\[ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \]

Di mana $a_1, a_2, \ldots, a_n$ dan $b$ merupakan nilai konstanta bilangan real (atau kompleks). Koefisien pembobot $a_1, \ldots, a_n$ disyaratkan tidak bernilai nol secara bersamaan semuanya.

Istilah linear di sini memiliki batasan struktural yang sangat ketat: setiap variabel wajib muncul tepat pada pangkat satu, tidak boleh ada operasi perkalian antar-variabel, dan tidak diperkenankan melibatkan fungsi non-linear apa pun (seperti fungsi trigonometri, logaritma, eksponensial, ataupun bentuk akar kuadrat) yang memuat variabel.

Contoh 1.1 — Identifikasi Persamaan Linear vs Non-linear

Contoh Persamaan Linear:

  • $2x_1 - 3x_2 + x_3 = 7$   (Memiliki tiga variabel, semuanya berpangkat tepat 1)
  • $x + 5y = 0$   (Memiliki dua variabel, nilai konstanta ruas kanan $b=0$)
  • $6x = 12$   (Memiliki satu variabel tunggal, tetap valid sebagai struktur linear)

Contoh Persamaan Non-linear:

  • $x_1 x_2 = 4$   (Ilegal: Terdapat operasi perkalian antara dua variabel)
  • $x_1^2 + x_2^2 = 1$   (Ilegal: Variabel memiliki pangkat dua atau derajat lebih tinggi)
  • $\sin(x_1) + x_2 = 0$   (Ilegal: Melibatkan fungsi trigonometri non-linear pada variabel)
  • $\sqrt{x_1} - x_2 = 3$   (Ilegal: Variabel berada di bawah akar kuadrat, setara pangkat $\tfrac{1}{2}$)
  • $2^{x_1} + x_2 = 5$   (Ilegal: Komponen variabel bertindak sebagai eksponen)
Catatan Teknis Struktur Konstanta dan Koefisien

Konstanta ruas kanan $b$ diperbolehkan bernilai nol. Jika $b = 0$, persamaan tersebut dikategorikan sebagai persamaan homogen. Sebaliknya, jika $b \neq 0$, maka dikategorikan sebagai persamaan non-homogen.

Sebagian nilai koefisien $a_i$ diperbolehkan bernilai nol, asalkan tidak seluruh koefisien bernilai nol secara bersamaan. Skenario ekstrem jika seluruh koefisien bernilai nol akan memicu kondisi berikut:

  • Jika $b = 0$, persamaan runtuh menjadi $0 = 0$ yang bersifat **trivial** (selalu bernilai benar tanpa makna solusi).
  • Jika $b \neq 0$, persamaan runtuh menjadi $0 = b$ yang memicu **inkonsistensi** logis (sebuah pernyataan mustahil).

Secara geometris, sebuah persamaan linear dalam dua variabel $a_1 x_1 + a_2 x_2 = b$ merepresentasikan grafik sebuah garis lurus pada bidang dua dimensi $\mathbb{R}^2$. Untuk tiga variabel, $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b$ merepresentasikan sebuah objek bidang datar di ruang tiga dimensi $\mathbb{R}^3$. Melalui generalisasi dimensi tinggi, persamaan linear dalam $n$ variabel akan merepresentasikan sebuah objek geometris bernama hiperbidang (hyperplane) berdimensi $n-1$ di dalam ruang vektor $\mathbb{R}^n$.

1.2 Sistem Persamaan Linear

Definisi 1.2 — Sistem Persamaan Linear (SPL)

Sistem Persamaan Linear (SPL) adalah himpunan yang terdiri dari satu atau beberapa persamaan linear dengan variabel-variabel yang sama. Secara umum, sebuah sistem yang melibatkan $m$ persamaan dengan $n$ variabel dapat dinyatakan sebagai:

\[ \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\;\;\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{align*} \]

Solusi dari sistem tersebut adalah sebuah urutan tupel bilangan real $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ yang apabila disubstitusikan ke dalam setiap variabel ($x_1 = s_1, x_2 = s_2, \ldots, x_n = s_n$) akan memenuhi seluruh persamaan linear di dalam sistem secara simultan.

1.2.1 Klasifikasi SPL: Konsisten vs Inkonsisten

Definisi 1.3 — Karakteristik Eksistensi Solusi

Berdasarkan keberadaan nilai solusinya, Sistem Persamaan Linear dikelompokkan menjadi dua kategori utama:

  • Sebuah sistem dinyatakan konsisten (consistent) jika sistem tersebut memiliki minimal satu solusi.
  • Sebuah sistem dinyatakan inkonsisten (inconsistent) jika sistem tersebut sama sekali tidak memiliki solusi akibat adanya kontradiksi matematis.

Untuk sebuah sistem linear yang bersifat konsisten, karakteristik kuantitas solusinya hanya memiliki dua kemungkinan skenario logis:

  1. Memiliki Tepat Satu Solusi Unik: Objek-objek geometris pembentuk sistem berpotongan di satu titik koordinat tunggal.
  2. Memiliki Tak Hingga Banyak Solusi: Objek-objek geometris penyusun sistem saling berimpit atau tumpang tindih secara menyeluruh, menciptakan ruang parameter solusi yang kontinu.

1.2.2 Interpretasi Geometris SPL Dua Variabel

Untuk membangun intuisi visual, tinjau sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan dua variabel bebas. Skenario ini setara dengan menganalisis interaksi posisi antara dua buah garis lurus pada bidang kartesius $\mathbb{R}^2$:

Konsisten Solusi unik Konsisten Tak hingga solusi Inkonsisten Tidak ada solusi
Gambar 1.1 — Tiga kemungkinan geometris untuk sistem dua persamaan linear dua variabel: (kiri) garis berpotongan di satu titik, (tengah) garis berimpit secara identik, (kanan) garis sejajar berbeda posisi.
Contoh 1.2 — Kasus Kuantitas Solusi pada Sistem Linear

(a) Sistem dengan Solusi Unik (Tepat Satu Solusi):

Tinjau sistem: $x + y = 3$ dan $x - y = 1$.

Menggunakan metode substitusi, kita nyatakan variabel $x$ dari persamaan kedua menjadi $x = 1 + y$. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan pertama:

\[ (1 + y) + y = 3 \implies 1 + 2y = 3 \implies 2y = 2 \implies y = 1 \]

Substitusikan kembali nilai $y = 1$ ke dalam persamaan substitusi awal untuk mendapatkan $x = 1 + (1) = 2$. Dengan demikian, sistem ini memiliki solusi unik berupa titik koordinat tunggal: $\mathbf{(x, y) = (2, 1)}$.

(b) Sistem dengan Tak Hingga Banyak Solusi:

Tinjau sistem: $x + 2y = 4$ dan $2x + 4y = 8$.

Perhatikan bahwa persamaan kedua sejatinya hanyalah kelipatan skalar ($2 \times$) dari persamaan pertama. Kedua persamaan ini merepresentasikan satu garis lurus yang identik secara geometris. Oleh karena itu, setiap titik koordinat $(x, y)$ yang memenuhi persamaan fondasi $x + 2y = 4$ secara otomatis merupakan solusi valid bagi sistem tersebut.

(c) Sistem Inkonsisten (Tidak Memiliki Solusi):

Tinjau sistem: $x + y = 3$ dan $x + y = 5$.

Jika kita mencoba melakukan pengurangan antar-persamaan secara langsung ($R_1 - R_2$), kita akan memicu kontradiksi aljabar radikal berupa persamaan: $0 = -2$. Karena tidak ada satu pun kombinasi nilai variabel $x$ dan $y$ yang dapat memenuhi hubungan mustahil tersebut, sistem ini dinyatakan inkonsisten secara mutlak.

1.3 Representasi Matriks

Menuliskan komponen sistem persamaan linear secara penuh dan berulang-ulang menjadi sangat tidak praktis seiring bertambahnya jumlah variabel dan persamaan. Penggunaan struktur matriks tidak hanya menyediakan notasi yang ringkas, tetapi juga memungkinkan kita menerapkan metode komputasi aljabar yang sistematis.

Definisi 1.4 — Matriks Koefisien dan Matriks Augmented

Diberikan Sistem Persamaan Linear berukuran $m \times n$ (seperti pada Definisi 1.2), matriks koefisien adalah susunan array numerik berukuran $m \times n$ yang menampung seluruh pengali variabel:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

Sementara itu, matriks augmented (matriks yang diperluas) dinotasikan sebagai $[A \mid \mathbf{b}]$. Struktur ini dibentuk dengan menggabungkan matriks koefisien $A$ dengan kolom vektor konstanta ruas kanan $\mathbf{b}$ di sisi paling kanan:

\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]

Kedua komponen tersebut disusun berdampingan di dalam satu kurung siku dan dipisahkan oleh sebuah garis vertikal imajiner.

Contoh 1.3 — Konversi SPL ke Representasi Matriks

Diberikan sistem persamaan linear berikut:

\[ \begin{align*} x_1 - 2x_2 + x_3 &= 0 \\ 2x_2 - 8x_3 &= 8 \\ 5x_1 \quad\;\; - 5x_3 &= 10 \end{align*} \]

Bentuk matriks koefisien ($A$) dan matriks augmented ($[A \mid \mathbf{b}]$) yang bersesuaian dengan sistem di atas adalah:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}, \qquad [A \mid \mathbf{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] \]
Konvensi Notasi dan Indeks Elemen

Setiap entri tunggal di dalam matriks dinotasikan dengan huruf kecil berindeks ganda $a_{ij}$, yang merepresentasikan elemen pada baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$. Nomor indeks baris selalu dihitung dari atas ke bawah, sedangkan indeks kolom dihitung dari kiri ke kanan. Matriks berdimensi $m \times n$ memiliki arti memiliki total $m$ baris dan $n$ kolom.

Garis pembatas vertikal pada visualisasi matriks augmented $[A \mid \mathbf{b}]$ murni bertindak sebagai alat bantu visual untuk memisahkan domain koefisien dengan domain konstanta, dan bukan merupakan elemen operasi matematika.

1.3.1 Notasi Vektor Kolom dan Persamaan Matriks

Sistem persamaan linear dapat direpresentasikan secara abstrak dan sangat ringkas dengan memanfaatkan operasi perkalian matriks-vektor. Kita definisikan terlebih dahulu vektor variabel dan vektor konstanta sebagai matriks kolom tunggal berikut:

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]

Dengan demikian, seluruh rangkaian sistem persamaan linear yang kompleks dapat disederhanakan menjadi satu buah persamaan matriks tunggal:

Formulasi Utama Persamaan Matriks

Setiap sistem persamaan linear ekuivalen secara mutlak dengan bentuk kanonikal:

\[ A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]

Di mana operasi perkalian blok $A\mathbf{x}$ mematuhi aturan standar aljabar linear: entri pada baris ke-$i$ dari vektor hasil merupakan kombinasi linear atau hasil perkalian titik (dot product) antara baris ke-$i$ pada matriks koefisien $A$ dengan elemen-elemen di dalam vektor variabel $\mathbf{x}$.

Contoh 1.4 — Verifikasi Komputasi Persamaan Matriks

Mari kita buktikan bahwa formulasi $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ menggunakan komponen-komponen di bawah ini:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix} \]

Akan mengekspansi kembali susunan tiga persamaan linear yang persis sama seperti pada Contoh 1.3:

  • Baris 1: $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 1(x_1) + (-2)(x_2) + 1(x_3) = x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$   (✓ Cocok)
  • Baris 2: $\begin{bmatrix} 0 & 2 & -8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 0(x_1) + 2(x_2) + (-8)(x_3) = 2x_2 - 8x_3 = 8$   (✓ Cocok)
  • Baris 3: $\begin{bmatrix} 5 & 0 & -5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = 5(x_1) + 0(x_2) + (-5)(x_3) = 5x_1 - 5x_3 = 10$   (✓ Cocok)

Abstraksi ke dalam bentuk $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ bukan sekadar penyederhanaan visual, melainkan sebuah gerbang menuju teori aljabar yang jauh lebih mendalam. Sebagai contoh, ketika vektor konstanta bernilai nol (sistem homogen, $\mathbf{b} = \mathbf{0}$), persamaannya bertransformasi menjadi $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$. Kita dapat menganalisis himpunan seluruh vektor $\mathbf{x}$ yang memenuhi kondisi tersebut sebagai sebuah kesatuan "ruang solusi" (nullspace). Fondasi ini akan menjadi topik sentral pembahasan ruang vektor pada Bab 7 dan Bab 8.

1.4 Eliminasi Gauss: Tiga Operasi Baris Elementer

Metode algoritmik utama yang digunakan untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear secara universal adalah eliminasi Gauss. Prinsip dasarnya adalah mentransformasikan matriks augmented sistem ke dalam struktur yang lebih sederhana—di mana setiap baris berurutan memiliki jumlah variabel yang lebih sedikit—tanpa mengubah karakteristik himpunan solusi aslinya. Proses penyederhanaan ini dicapai secara eksklusif melalui tiga jenis manipulasi baris linear.

1.4.1 Operasi Baris Elementer (OBE): Definisi dan Notasi

Definisi 1.5 — Tiga Jenis Operasi Baris Elementer (OBE)

Tiga bentuk manipulasi aljabar berikut apabila diterapkan pada baris-baris matriks augmented dijamin tidak akan mengubah himpunan solusi dari sistem persamaan linear terkait:

  1. Penukaran Baris (Permutasi): Menukar posisi antara dua baris matriks.
     • Notasi formal: $R_i \leftrightarrow R_j$
  2. Perkalian Skalar (Skaling): Mengalikan seluruh entri pada suatu baris dengan konstanta skalar non-nol ($k \neq 0$).
     • Notasi formal: $kR_i \to R_i$
  3. Penjumlahan Baris (Penggantian): Menambahkan hasil kelipatan skalar suatu baris ke baris yang lain.
     • Notasi formal: $R_i + kR_j \to R_i$
Bukti Logika Eksistensi Himpunan Solusi Konstan

Konsistensi himpunan solusi selama proses OBE dijamin oleh prinsip kesetaraan aljabar berikut:

  • Operasi (1) murni mengubah urutan penulisan persamaan di dalam sistem, sehingga tidak memengaruhi nilai kebenaran variabel.
  • Operasi (2) menerapkan sifat perkalian ekuivalensi dasar pada kedua ruas persamaan linear menggunakan pengali $k \neq 0$.
  • Operasi (3) didasarkan pada aksioma penjumlahan linear: jika berlaku hubungan $a = b$ dan $c = d$, maka secara logis berlaku $a + kc = b + kd$.

Ketiga manipulasi di atas dikategorikan sebagai transformasi **reversibel** (dapat balik), yang berarti efek dari setiap operasi dapat dibatalkan secara utuh menggunakan operasi sejenisnya.

Peringatan Kritis Operasi Skalar

Pada pelaksanaan operasi baris jenis kedua (2), konstanta pengali skalar $k$ wajib bernilai non-nol ($k \neq 0$). Melakukan perkalian suatu baris matriks dengan angka nol akan menghapus seluruh informasi koefisien di dalam persamaan tersebut secara permanen, yang berakibat pada rusaknya validitas ruang solusi sistem. Skenario ini merupakan kekeliruan prosedural yang paling sering dilakukan oleh pemula.

1.4.2 Penerapan Eliminasi Gauss pada Sistem $3 \times 3$

Mari kita terapkan algoritma eliminasi Gauss secara komputasi pada matriks augmented dari Contoh 1.3. Target utama operasi ini adalah menciptakan entri nol di bawah setiap elemen pivot (angka tak-nol pertama pada baris yang bersesuaian).

Langkah Demi Langkah Operasi Baris

Kondisi Awal Matriks Augmented:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{1} & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] \]

Elemen pivot untuk baris 1 telah berada pada posisi diagonal $(1,1)$ dengan nilai $1$. Kita eliminasi nilai pada kolom pertama di bawahnya dengan melakukan operasi pengurangan: baris 3 dikurangi $5 \times$ baris 1.

$R_3 - 5R_1 \to R_3$:   $(5\;0\;-5\mid10) - 5\cdot(1\;-2\;1\mid0) = (0\;10\;-10\mid10)$

Matriks Setelah Langkah 1:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & \color{#2c6e49}{2} & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{array}\right] \]

Elemen pivot untuk baris 2 berada pada posisi diagonal $(2,2)$ dengan nilai $2$. Kita bersihkan kolom kedua di bawahnya dengan menerapkan operasi pengurangan: baris 3 dikurangi $5 \times$ baris 2.

$R_3 - 5R_2 \to R_3$:   $(0\;10\;-10\mid10) - 5\cdot(0\;2\;-8\mid8) = (0\;0\;30\mid-30)$

Hasil Akhir Eliminasi Gauss:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 0 & \color{#2c6e49}{30} & -30 \end{array}\right] \]

Struktur final ini dikenal sebagai Bentuk Eselon Baris (Row Echelon Form - REF), di mana jumlah nol penuntun pada setiap baris bertambah secara konsisten dibandingkan baris di atasnya. Sifat ini memungkinkan kita membaca nilai solusi secara berjenjang dari bawah ke atas menggunakan metode substitusi balik (back-substitution):

  • Dari baris 3: $30x_3 = -30 \implies x_3 = -1$
  • Dari baris 2: $2x_2 - 8(-1) = 8 \implies 2x_2 + 8 = 8 \implies 2x_2 = 0 \implies x_2 = 0$
  • Dari baris 1: $x_1 - 2(0) + (-1) = 0 \implies x_1 - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

Himpunan Solusi Tunggal: $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}^T$

Strategi Algoritma Eliminasi

Pada setiap iterasi eliminasi maju (forward elimination):

  1. Identifikasi Baris Pivot: Pilih baris teratas dari sub-matriks yang sedang diproses.
  2. Verifikasi Nilai Pivot: Pastikan entri pivot tidak bernilai nol. Jika bernilai nol, lakukan penukaran baris (permutasi) dengan baris di bawahnya yang memiliki entri tak-nol pada kolom yang sama.
  3. Eliminasi Kolom: Buat entri menjadi nol pada seluruh elemen kolom di bawah pivot tersebut dengan menambahkan atau mengurangkan kelipatan linear dari baris pivot ke baris-baris di bawahnya.

Ulangi rangkaian prosedur ini untuk kolom-kolom berikutnya hingga terbentuk matriks eselon.

Contoh 1.5 — Sistem yang Memerlukan Penukaran Baris (Permutasi)

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

$x_1 + x_2 - x_3 = 3$,   $2x_1 + 2x_2 + x_3 = 9$,   $x_1 + 2x_2 + x_3 = 6$.

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ 1 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1,\; R_3 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & \color{#dc2626}{0} & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right] \]

Perhatikan bahwa setelah kolom pertama dibersihkan, elemen diagonal utama pada baris kedua posisi $(2,2)$ bernilai $0$. Karena kita tidak bisa membagi atau mengeliminasi menggunakan nilai nol, kita wajib melakukan operasi penukaran baris antara baris kedua dengan baris ketiga ($R_2 \leftrightarrow R_3$) untuk memunculkan elemen pivot yang valid ($1$).

Metode Substitusi Balik (Back-substitution):

  • Dari baris 3: $3x_3 = 3 \implies x_3 = 1$
  • Dari baris 2: $x_2 + 2(1) = 3 \implies x_2 = 1$
  • Dari baris 1: $x_1 + 1 - 1 = 3 \implies x_1 = 3$

Himpunan Solusi Tunggal: $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}^T$

Contoh 1.6 — Analisis Sistem Inkonsisten (Tidak Memiliki Solusi)

Selesaikan sistem persamaan linear berikut:

$x_1 - 2x_2 = 4$,   $-2x_1 + 4x_2 = -6$.

\[ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 + 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] \]

Apabila kita mentransformasikan baris kedua melalui operasi elemen baris $R_2 + 2R_1$, baris tersebut berubah menjadi bentuk persamaan linear asli: \[ 0x_1 + 0x_2 = 2 \implies 0 = 2\]

Pernyataan aljabar $0 = 2$ merupakan sebuah bentuk kontradiksi mutlak. Karena tidak ada satupun kombinasi nilai variabel $x_1$ dan $x_2$ yang mampu memenuhi hubungan mustahil ini, maka sistem linear tersebut diklasifikasikan sebagai sistem yang inkonsisten dan dinyatakan **tidak memiliki solusi sama sekali**.

1.5 Notasi dan Terminologi Matriks

Sebelum melangkah lebih jauh ke bab-bab berikutnya yang akan memformalkan algoritma eliminasi dan reduksi tingkat lanjut, kita wajib menguasai terminologi dasar serta klasifikasi struktur matriks yang akan diacu secara konsisten sepanjang buku ini.

1.5.1 Klasifikasi Jenis Matriks Dasar

Jenis Matriks Notasi / Contoh Formal Karakteristik Struktural
Matriks Baris $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$ Memiliki dimensi $1 \times n$ (terdiri dari satu baris tunggal).
Matriks Kolom $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ Memiliki dimensi $m \times 1$ (terdiri dari satu kolom tunggal atau berupa vektor).
Matriks Persegi $A_{n \times n}$, misalnya berukuran $3 \times 3$ Jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Nilai $n$ didefinisikan sebagai ordo matriks.
Diagonal Utama Komponen entri $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ Garis diagonal dari kiri atas ke kanan bawah. Hanya eksis pada matriks persegi.
Matriks Diagonal $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ Matriks persegi di mana seluruh entri di luar diagonal utama bernilai nol ($a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$).
Matriks Identitas $I_n$, contoh: $I_3 = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$ Matriks diagonal dengan entri diagonal utama bernilai tepat $1$. Bertindak sebagai elemen netral perkalian.
Matriks Nol $O_{m \times n}$ atau $\mathbf{0}$ Matriks di mana seluruh entri elemennya bernilai nol. Bertindak sebagai elemen identitas penjumlahan.
Matriks Segitiga Atas $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix}$ Matriks persegi yang memenuhi syarat nilai entri $a_{ij} = 0$ untuk kondisi baris lebih besar dari kolom ($i > j$).
Matriks Segitiga Bawah $\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ Matriks persegi yang memenuhi syarat nilai entri $a_{ij} = 0$ untuk kondisi baris lebih kecil dari kolom ($i < j$).

Struktur matriks identitas ($I$) dan matriks nol ($O$) memegang peranan yang sangat fundamental dan krusial dalam membangun sistem aksioma aljabar matriks, mengadopsi cara kerja angka $1$ dan $0$ pada sistem aritmetika bilangan real konvensional. Analisis detail mengenai mekanika interaksi kedua objek ini akan dibahas secara mendalam pada Bab 3 dan Bab 4.

1.5.2 Operasi Transpose Matriks

Definisi 1.6 — Transpose Matriks

Transpose dari sebuah matriks $A$ berukuran $m \times n$, dinotasikan sebagai $A^T$, adalah matriks baru berukuran $n \times m$ yang diperoleh dengan cara menukar elemen baris dan kolom: elemen pada baris ke-$i$ dari matriks $A$ ditransformasikan menjadi elemen kolom ke-$i$ pada matriks $A^T$. Secara matematis, hubungan indeks ini ditulis sebagai $(A^T)_{ji} = A_{ij}$.

\[ \text{Jika } A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \text{ maka } A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]
Teorema 1.1 — Sifat-Sifat Dasar Transpose Matriks

Untuk matriks $A$ dan $B$ dengan ukuran dimensi yang sesuai agar operasi penjumlahan terdefinisi secara legal, serta $k$ bertindak sebagai skalar real, berlaku sifat-sifat dasar berikut:

  1. Involusi (Transpose Ganda): $(A^T)^T = A$   (Mentransposekan matriks sebanyak dua kali akan mengembalikannya ke bentuk asli)
  2. Distributif Penjumlahan: $(A + B)^T = A^T + B^T$
  3. Homogenitas Skalar: $(kA)^T = kA^T$
Catatan Mengenai Operasi Perkalian di Bab Mendatang

Anda mungkin bertanya-tanya bagaimana operasi transpose berinteraksi dengan operasi perkalian matriks. Ketika kita mempelajari operasi perkalian matriks $AB$ secara formal pada Bab 3, kita akan menemukan sebuah sifat yang sangat unik dan menarik: $(AB)^T = B^T A^T$. Urutan matriks penyusunnya berbalik secara sempurna akibat konsekuensi dari pemetaan geometris baris-kali-kolom.

Sebuah matriks persegi khusus yang memenuhi kondisi identitas $A^T = A$ diklasifikasikan sebagai matriks simetris. Pada matriks ini, seluruh entri elemennya memiliki cerminan nilai yang sama persis terhadap garis diagonal utama, memenuhi relasi $a_{ij} = a_{ji}$ untuk setiap indeks $i$ dan $j$. Struktur matriks simetris memegang peranan yang sangat vital ketika kita menganalisis teori nilai eigen dan vektor eigen pada Bab 10 serta pemetaan bentuk kuadrat pada Bab 15.

Contoh 1.7 — Karakteristik Entri Matriks Simetris

Tinjau matriks persegi berordo $3 \times 3$ berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 7 \end{bmatrix} \]

Jika kita melakukan operasi transpose pada matriks di atas, susunan elemennya terbukti menghasilkan nilai yang identik secara mutlak dengan dirinya sendiri ($A^T = A$):

\[ A^T = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 7 \end{bmatrix} = A \]

Analisis pencocokan indeks menunjukkan kesamaan nilai secara konsisten: $a_{12} = a_{21} = -1$, $a_{13} = a_{31} = 4$, dan $a_{23} = a_{32} = 0$. Sementara itu, seluruh entri sepanjang diagonal utama ($2, 3, 7$) bernilai bebas karena memiliki nomor indeks baris dan kolom yang sama ($a_{ii} = a_{ii}$).

Perspektif Bab Ini

Bab 1 memperkenalkan tiga ide pilar utama yang akan terus dikembangkan sepanjang studi aljabar linear:

  1. Persamaan Linear: Bertindak sebagai objek studi fundamental yang nantinya akan digeneralisasikan ke dalam konsep ruang vektor abstrak pada Bab 7.
  2. Representasi Persamaan Matriks $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$: Menjadi jembatan utama yang menghubungkan pendekatan analitis (aljabar persamaan) dengan pendekatan visual (geometri transformasi ruang pada Bab 9).
  3. Operasi Baris Elementer (OBE): Berperan sebagai motor penggerak algoritma yang diformalkan menjadi bentuk eselon baris di Bab 2, dan nantinya diungkap sebagai hasil perkalian dengan matriks elementer pada Bab 4.

Prosedur eliminasi Gauss yang kita lakukan secara manual pada bab pembuka ini merupakan cikal bakal mekanika internal bagi seluruh algoritma komputasi modern tingkat lanjut, seperti faktorisasi LU di Bab 4 dan dekomposisi QR di Bab 13.

Latihan Evaluasi Bab 1
  1. Klasifikasikan persamaan-persamaan berikut ke dalam kelompok persamaan linear atau non-linear, disertai argumen matematis singkat:
    • (a) $3x_1 - 5x_2 + x_3 = 2$
    • (b) $x_1 x_2 = 6$
    • (c) $x_1 - 3x_2 + x_3 - x_4 + 7x_5 = 0$
    • (d) $e^{x_1} + x_2 = 1$
    • (e) $\cos(x_1) + \sin(x_2) = 0$
  2. Konversikan Sistem Persamaan Linear berikut ke dalam bentuk matriks koefisien ($A$) dan matriks augmented ($[A \mid \mathbf{b}]$):
    • (a) $x_1 + 3x_2 = 5$,   $2x_1 - x_2 = 1$
    • (b) $x_1 - x_2 + 2x_3 = 3$,   $x_2 + x_3 = 4$,   $x_1 + x_3 = 2$
  3. Buktikan secara komputasi bahwa vektor $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ merupakan solusi valid bagi persamaan matriks $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, jika diketahui matriks koefisien $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ dan vektor konstanta $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 8 \end{bmatrix}$. Hitunglah perkalian titik baris-kolom secara eksplisit.
  4. Reduksilah sistem persamaan linear di bawah ini menggunakan metode eliminasi Gauss. Tunjukkan notasi kode OBE secara detail di setiap langkah perubahan baris:
    • (a) $x_1 + 2x_2 = 5$,   $3x_1 + 7x_2 = 18$
    • (b) $2x_1 + 4x_2 - x_3 = 6$,   $x_1 - x_2 + 3x_3 = 1$,   $3x_1 + x_2 + x_3 = 8$
    • (c) $x_1 + x_2 + x_3 = 1$,   $2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5$
  5. Selesaikan sistem linear berikut. Lakukan operasi permutasi baris (penukaran posisi) di awal langkah apabila diperlukan untuk mengamankan posisi elemen pivot:
    • (a) $x_2 + 3x_3 = 4$,   $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$,   $x_1 + 4x_3 = 7$
    • (b) $x_1 - x_2 + x_3 = 0$,   $x_1 + 2x_2 - x_3 = 3$,   $2x_1 + x_2 = 3$
  6. Tentukan batasan nilai konstanta parameter $a$ agar sistem persamaan linear berikut bersifat konsisten (memiliki solusi): $x_1 + 2x_2 = 3$,   $2x_1 + 4x_2 = a$.
  7. Dapatkan matriks transpose dari matriks $A$ di bawah ini, kemudian tunjukkan secara numerik validitas sifat involusi $(A^T)^T = A$:
    \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]
  8. Gunakan matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ untuk menghitung hasil dari $(A + B)^T$ dan $A^T + B^T$. Verifikasi secara visual bahwa kedua matriks hasil akhir tersebut bernilai identik sesuai dengan hukum distributif linearitas transpose.
  9. Sebuah sistem persamaan linear berordo $3 \times 3$ diproses menggunakan eliminasi Gauss hingga menghasilkan kondisi matriks augmented eselon sebagai berikut:
    \[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right] \]
    Berdasarkan struktur baris terakhir matriks di atas, analisis apakah sistem tersebut bersifat konsisten atau inkonsisten. Berikan penafsiran aljabar Anda.
  10. Soal Pemikiran Analitis: Mengapa pada pelaksanaan Operasi Baris Elementer jenis kedua ($kR_i \to R_i$), konstanta pembobot $k$ diwajibkan bernilai non-nol ($k \neq 0$), sedangkan pada OBE jenis ketiga ($R_i + kR_j \to R_i$), nilai konstanta $k$ dibebaskan bernilai berapa saja termasuk angka nol ($k = 0$)? Apa implikasi struktural yang terjadi pada baris matriks jika kita menetapkan nilai $k = 0$ pada operasi jenis ketiga tersebut?
Bab berikutnya
Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris