Bab 1

Sistem Persamaan Linear dan Pengantar Matriks

Aljabar linear dimulai dari pertanyaan paling sederhana: kapan sekumpulan persamaan linear memiliki solusi, dan bagaimana menemukannya? Bab ini memperkenalkan persamaan linear, sistem persamaan linear, representasi matriks, serta teknik eliminasi Gauss sebagai alat utama penyelesaian.

1.1 Persamaan Linear

Definisi 1.1 — Persamaan Linear

Persamaan linear dalam variabel $x_1, x_2, \ldots, x_n$ adalah persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

$$a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b$$

di mana $a_1, a_2, \ldots, a_n$ dan $b$ adalah konstanta bilangan real (atau kompleks). Koefisien $a_1, \ldots, a_n$ tidak semuanya nol.

Kata linear di sini memiliki arti yang sangat spesifik: setiap variabel muncul tepat dalam pangkat satu, tidak ada perkalian antar variabel, dan tidak ada fungsi nonlinear (sinus, logaritma, eksponensial, akar, dll.) yang melibatkan variabel.

Contoh 1.1 — Persamaan Linear vs Nonlinear

Linear:

  • $2x_1 - 3x_2 + x_3 = 7$   (tiga variabel, semua pangkat 1)
  • $x + 5y = 0$   (dua variabel, bisa $b=0$)
  • $6x = 12$   (satu variabel, tetap linear)

Nonlinear:

  • $x_1 x_2 = 4$   (perkalian dua variabel)
  • $x_1^2 + x_2^2 = 1$   (pangkat dua)
  • $\sin(x_1) + x_2 = 0$   (fungsi trigonometri)
  • $\sqrt{x_1} - x_2 = 3$   (akar kuadrat = pangkat $\tfrac{1}{2}$)
  • $2^{x_1} + x_2 = 5$   (variabel di eksponen)
Catatan Teknis

Konstanta $b$ boleh nol. Jika $b = 0$, persamaan disebut homogen; jika $b \neq 0$, disebut non-homogen. Koefisien boleh nol — yang penting adalah tidak semua koefisien nol (kalau semua nol dan $b=0$, persamaan menjadi $0=0$ yang trivial; kalau semua nol dan $b\neq 0$, menjadi $0=b$ yang tidak mungkin).

Suatu persamaan linear dalam dua variabel $a_1 x_1 + a_2 x_2 = b$ merepresentasikan sebuah garis lurus di bidang $\mathbb{R}^2$. Dalam tiga variabel, $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 = b$ merepresentasikan sebuah bidang di ruang $\mathbb{R}^3$. Secara umum, persamaan linear dalam $n$ variabel merepresentasikan sebuah hiperbidang berdimensi $n-1$ di $\mathbb{R}^n$.

1.2 Sistem Persamaan Linear

Definisi 1.2 — Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear terdiri dari satu atau beberapa persamaan linear dalam variabel yang sama. Secara umum, sistem dengan $m$ persamaan dan $n$ variabel ditulis:

\begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\;\;\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{align*}

Solusi dari sistem adalah suatu tupel $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ yang memenuhi setiap persamaan secara simultan ketika $x_i = s_i$.

1.2.1 Konsisten vs Inkonsisten

Definisi 1.3

Sebuah sistem disebut konsisten jika memiliki minimal satu solusi. Sistem disebut inkonsisten jika tidak memiliki solusi sama sekali.

Sistem konsisten dapat memiliki:

  • Satu solusi unik — contoh: dua garis berpotongan di satu titik
  • Tak hingga solusi — contoh: dua garis berimpit (sama persis)

Sistem inkonsisten: contoh dua garis sejajar tapi berbeda.

1.2.2 Contoh Geometris: Dua Variabel

Untuk membangun intuisi, perhatikan sistem dua persamaan linear dalam dua variabel — ini setara dengan dua garis di bidang. Ada tiga kemungkinan:

Konsisten Solusi unik Konsisten Tak hingga solusi Inkonsisten Tidak ada solusi
Gambar 1.1 — Tiga kemungkinan untuk sistem dua persamaan linear dua variabel: (kiri) garis berpotongan di satu titik, (tengah) garis berimpit, (kanan) garis sejajar berbeda.
Contoh 1.2

(a) Solusi unik:   $x + y = 3$ dan $x - y = 1$.   Substitusi: dari persamaan kedua $x = 1 + y$, masukkan ke pertama: $1 + 2y = 3 \Rightarrow y = 1, x = 2$. Solusi: $(2, 1)$.

(b) Tak hingga solusi:   $x + 2y = 4$ dan $2x + 4y = 8$.   Persamaan kedua adalah $2\times$ persamaan pertama — kedua garis sama. Setiap titik pada garis $x + 2y = 4$ adalah solusi.

(c) Inkonsisten:   $x + y = 3$ dan $x + y = 5$.   Tidak ada nilai $x, y$ yang memenuhi kedua persamaan sekaligus.

1.3 Representasi Matriks

Menulis sistem persamaan linear secara penuh seperti di Definisi 1.2 menjadi tidak praktis saat jumlah variabel dan persamaan bertambah. Matriks menyediakan notasi yang ringkas dan, yang lebih penting, memungkinkan kita menerapkan operasi aljabar yang sistematis.

1.3.1 Matriks Koefisien dan Matriks Augmented

Definisi 1.4 — Matriks Koefisien dan Augmented

Diberikan sistem $m \times n$ seperti di Definisi 1.2, matriks koefisien adalah matriks $m \times n$:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$$

Matriks augmented (diperluas) ditulis sebagai $[A \mid \mathbf{b}]$, yaitu matriks koefisien dengan kolom konstanta $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$ ditambahkan di sebelah kanan, dipisahkan garis vertikal.

Contoh 1.3

Sistem:

\[ \begin{align*} x_1 - 2x_2 + x_3 &= 0 \\ 2x_2 - 8x_3 &= 8 \\ 5x_1 \quad\;\; - 5x_3 &= 10 \end{align*} \]

Matriks koefisien dan matriks augmented:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}, \qquad [A \mid \mathbf{b}] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] \]
Konvensi Notasi

Entri matriks ditulis $a_{ij}$ — baris ke-$i$, kolom ke-$j$. Baris dihitung dari atas ke bawah, kolom dari kiri ke kanan. Matriks $m \times n$ memiliki $m$ baris dan $n$ kolom. Garis vertikal pada matriks augmented bukan bagian dari matriks — ia hanya penanda visual untuk memisahkan koefisien dari konstanta.

1.3.2 Notasi Vektor Kolom

Sistem persamaan linear dapat ditulis secara sangat ringkas menggunakan perkalian matriks-vektor. Definisikan vektor variabel dan vektor konstanta:

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} \]

Maka seluruh sistem persamaan linear setara dengan satu persamaan matriks:

Bentuk Matriks Sistem Linear

Sistem persamaan linear ekuivalen dengan

$$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$$

di mana perkalian $A\mathbf{x}$ mengikuti aturan standar: baris ke-$i$ dari hasil kali sama dengan hasil kali titik (dot product) antara baris ke-$i$ matriks $A$ dengan vektor $\mathbf{x}$.

Contoh 1.4 — Verifikasi Bentuk Matriks

Periksa bahwa $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix}$, $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 8 \\ 10 \end{bmatrix}$ memang menghasilkan tiga persamaan di Contoh 1.3.

Baris 1: $1 \cdot x_1 + (-2) \cdot x_2 + 1 \cdot x_3 = x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$ ✓

Baris 2: $0 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 + (-8) \cdot x_3 = 2x_2 - 8x_3 = 8$ ✓

Baris 3: $5 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + (-5) \cdot x_3 = 5x_1 - 5x_3 = 10$ ✓

Bentuk $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ bukan hanya notasi ringkas — ia membuka jalan untuk teori yang dalam. Misalnya, sistem homogen ($\mathbf{b} = \mathbf{0}$) menjadi $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$, dan kita bisa membicarakan "ruang solusi" sebagai himpunan semua $\mathbf{x}$ yang memenuhi persamaan tersebut. Ini akan menjadi sentral di Bab 7 dan 8.

1.4 Eliminasi Gauss: Tiga Operasi Baris

Metode utama untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah eliminasi Gauss. Ide dasarnya sederhana: ubah sistem menjadi bentuk yang lebih sederhana (setiap persamaan memiliki lebih sedikit variabel dari persamaan sebelumnya) tanpa mengubah himpunan solusinya. Ini dicapai melalui tiga jenis operasi pada baris matriks augmented.

1.4.1 Operasi Baris: Definisi dan Notasi

Definisi 1.5 — Tiga Operasi Elemen Baris

Ketiga operasi berikut pada baris matriks tidak mengubah himpunan solusi dari sistem yang direpresentasikan:

  1. Permutasi baris: Tukar posisi dua baris.   Notasi: $R_i \leftrightarrow R_j$
  2. Skalar baris: Kalikan suatu baris dengan konstanta $k \neq 0$.   Notasi: $kR_i \to R_i$
  3. Penjumlahan baris: Tambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain.   Notasi: $R_i + kR_j \to R_i$
Mengapa Himpunan Solusi Tidak Berubah?

Operasi (1) hanya mengubah urutan persamaan — jelas tidak mempengaruhi solusi. Operasi (2) mengalikan kedua ruas suatu persamaan dengan $k \neq 0$ — ini ekuivalensi aljabar dasar. Operasi (3) menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lain: jika $a = b$ dan $c = d$, maka $a + kc = b + kd$. Ketiganya adalah transformasi reversibel — setiap operasi dapat dibatalkan oleh operasi sejenis.

Peringatan

Pada operasi (2), konstanta $k$ harus tidak nol. Mengalikan baris dengan nol akan menghancurkan informasi dalam baris tersebut dan mengubah himpunan solusi. Ini adalah kesalahan paling umum bagi pemula.

1.4.2 Eliminasi pada Sistem $3 \times 3$

Mari kita terapkan eliminasi Gauss pada sistem dari Contoh 1.3. Tujuannya: buat nol di bawah setiap pivot (entri pertama tak-nol di setiap baris).

Langkah Demi Langkah

Mulai:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{1} & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{array}\right] \]

Pivot baris 1 sudah ada di posisi $(1,1)$. Buat nol di bawahnya: baris 3 dikurangi $5 \times$ baris 1.

$R_3 - 5R_1 \to R_3$:   $(5\;0\;-5\mid10) - 5\cdot(1\;-2\;1\mid0) = (0\;10\;-10\mid10)$

Setelah langkah 1:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & \color{#2c6e49}{2} & -8 & 8 \\ 0 & 10 & -10 & 10 \end{array}\right] \]

Pivot baris 2 ada di posisi $(2,2)$. Buat nol di bawahnya: baris 3 dikurangi $5 \times$ baris 2.

$R_3 - 5R_2 \to R_3$:   $(0\;10\;-10\mid10) - 5\cdot(0\;2\;-8\mid8) = (0\;0\;30\mid-30)$

Hasil eliminasi Gauss:

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 0 & 0 & \color{#2c6e49}{30} & -30 \end{array}\right] \]

Bentuk ini disebut bentuk segitiga atas — setiap baris dimulai dengan nol yang lebih banyak dari baris sebelumnya. Dari sini, solusi dibaca dari bawah ke atas (back-substitution):

Dari baris 3: $30x_3 = -30 \Rightarrow x_3 = -1$

Dari baris 2: $2x_2 - 8(-1) = 8 \Rightarrow 2x_2 + 8 = 8 \Rightarrow 2x_2 = 0 \Rightarrow x_2 = 0$

Dari baris 1: $x_1 - 2(0) + (-1) = 0 \Rightarrow x_1 - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$

Solusi: $\mathbf{x} = (1,\; 0,\; -1)$

Strategi Eliminasi

Pada setiap langkah: (1) identifikasi baris pivot (baris paling atas yang belum diproses), (2) pastikan entri pivot tidak nol — jika nol, tukar dengan baris di bawahnya yang memiliki entri tak-nol di kolom yang sama, (3) buat nol di seluruh kolom di bawah pivot dengan menambahkan kelipatan baris pivot ke setiap baris di bawahnya. Ulangi untuk kolom berikutnya.

Contoh 1.5 — Sistem yang Memerlukan Penukaran Baris

Selesaikan sistem berikut:

$x_1 + x_2 - x_3 = 3$,   $2x_1 + 2x_2 + x_3 = 9$,   $x_1 + 2x_2 + x_3 = 6$.

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 1 & 9 \\ 1 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1,\; R_3 - R_1} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & \color{#dc2626}{0} & 3 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right] \]

Perhatikan bahwa setelah eliminasi kolom pertama, elemen diagonal pada baris kedua bernilai $0$. Kita harus menukar baris kedua dengan baris ketiga ($R_2 \leftrightarrow R_3$) untuk mendapatkan elemen pivot yang valid.

Back-substitution:

Dari baris 3: $3x_3 = 3 \Rightarrow x_3 = 1$

Dari baris 2: $x_2 + 2(1) = 3 \Rightarrow x_2 = 1$

Dari baris 1: $x_1 + 1 - 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 3$

Solusi: $\mathbf{x} = (3,\; 1,\; 1)$

Contoh 1.6 — Sistem Inkonsisten

Selesaikan: $x_1 - 2x_2 = 4$,   $-2x_1 + 4x_2 = -6$.

\[ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 4 \\ -2 & 4 & -6 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 + 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] \]

Baris kedua memberikan persamaan $0x_1 + 0x_2 = 2$ atau $0 = 2$, yang merupakan sebuah kontradiksi. Karena tidak ada nilai variabel yang dapat memenuhi hubungan ini, sistem tersebut dinyatakan inkonsisten dan tidak memiliki solusi.

1.5 Notasi dan Terminologi Matriks

Sebelum melanjutkan ke Bab 2 yang akan memformalkan proses eliminasi, kita perlu menguasai terminologi dasar matriks yang akan digunakan sepanjang buku ini.

1.5.1 Jenis Matriks Dasar

JenisNotasi/ContohKeterangan
Matriks baris $\begin{bmatrix} 1 & -3 & 5 \end{bmatrix}$ $1 \times n$, satu baris
Matriks kolom $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ $m \times 1$, satu kolom
Matriks persegi $n \times n$, misalnya $3 \times 3$ Jumlah baris = jumlah kolom. $n$ disebut orde.
Diagonal utama Entri $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}$ Hanya terdefinisi untuk matriks persegi
Matriks diagonal $\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix}$ Entri di luar diagonal utama semua nol
Matriks identitas $I_n$, contoh $I_3 = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}$ Diagonal utama semua 1, sisanya 0. Analog dengan angka 1 dalam perkalian.
Matriks nol $O$ atau $\mathbf{0}$ Semua entri nol. Analog dengan angka 0 dalam penjumlahan.
Matriks segitiga atas $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ Entri di bawah diagonal utama semua nol
Matriks segitiga bawah $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ Entri di atas diagonal utama semua nol

Matriks identitas dan matriks nol memainkan peran khusus dalam aljabar matriks, sama seperti angka 1 dan 0 dalam aritmetika biasa. Kita akan melihat ini secara detail di Bab 3 dan 4.

1.5.2 Transpose

Definisi 1.6 — Transpose Matriks

Transpose dari matriks $A$ berukuran $m \times n$, ditulis $A^T$, adalah matriks berukuran $n \times m$ yang diperoleh dengan menukar baris dan kolom: baris ke-$i$ dari $A$ menjadi kolom ke-$i$ dari $A^T$. Ditulis secara matematis, $(A^T)_{ji} = A_{ij}$.

\[ \text{Jika } A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \text{ maka } A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \]
Teorema 1.1 — Sifat-Sifat Transpose

Untuk matriks berukuran sesuai agar operasi terdefinisi:

  1. $(A^T)^T = A$
  2. $(A + B)^T = A^T + B^T$
  3. $(kA)^T = kA^T$   untuk setiap skalar $k$
  4. $(AB)^T = B^T A^T$   (urutan terbalik!)
Catatan tentang Sifat (4)

Sifat $(AB)^T = B^T A^T$ sering mengejutkan karena urutan terbalik. Ini bukan sekadar konvensi — ia merupakan konsekuensi langsung dari definisi perkalian matriks. Bukti singkat: entri $(i,j)$ dari $(AB)^T$ sama dengan entri $(j,i)$ dari $AB$, yang merupakan dot product baris $j$ dari $A$ dengan kolom $i$ dari $B$. Ini sama dengan dot product kolom $j$ dari $A^T$ dengan baris $i$ dari $B^T$, yaitu entri $(i,j)$ dari $B^T A^T$.

Sebuah matriks yang memenuhi $A^T = A$ disebut matriks simetris — entri-entriya simetris terhadap diagonal utama: $a_{ij} = a_{ji}$ untuk semua $i, j$. Matriks simetris selalu persegi dan akan sangat penting saat kita membahas nilai eigen (Bab 10) dan bentuk kuadrat (Bab 15).

Contoh 1.7 — Matriks Simetris
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 7 \end{bmatrix} = A^T \]

Perhatikan bahwa $a_{12} = a_{21} = -1$, $a_{13} = a_{31} = 4$, dan $a_{23} = a_{32} = 0$. Secara umum, sebuah matriks persegi dikatakan simetris jika memenuhi kondisi $a_{ij} = a_{ji}$ untuk setiap indeks $i$ dan $j$. Entri diagonal ($2, 3, 7$) selalu bernilai bebas karena indeks baris dan kolomnya sama ($a_{ii} = a_{ii}$).

Perspektif Bab Ini

Bab 1 memperkenalkan tiga ide yang akan terus berkembang:

  1. Persamaan linear → menjadi objek studi fundamental yang kemudian digeneralisasi ke ruang vektor abstrak (Bab 7).
  2. Representasi matriks $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ → menjadi jembatan antara aljabar (persamaan) dan geometri (transformasi ruang, Bab 9).
  3. Operasi baris → diformalkan sebagai bentuk eselon baris di Bab 2, dan kemudian terungkap sebagai perkalian dengan matriks elementer di Bab 4.

Eliminasi Gauss yang kita lakukan secara manual di sini akan menjadi dasar bagi semua algoritma komputasional di Bab 4 (faktorisasi LU) dan Bab 13 (dekomposisi QR).

Latihan Evaluasi
  1. Tentukan mana yang merupakan persamaan linear dan mana yang tidak. Jelaskan alasan singkat.
    • (a) $3x_1 - 5x_2 + x_3 = 2$
    • (b) $x_1 x_2 = 6$
    • (c) $x_1 - 3x_2 + x_3 - x_4 + 7x_5 = 0$
    • (d) $e^{x_1} + x_2 = 1$
    • (e) $\cos(x_1) + \sin(x_2) = 0$
  2. Tuliskan matriks koefisien dan matriks augmented untuk sistem berikut:
    • (a) $x_1 + 3x_2 = 5$,   $2x_1 - x_2 = 1$
    • (b) $x_1 - x_2 + 2x_3 = 3$,   $x_2 + x_3 = 4$,   $x_1 + x_3 = 2$
  3. Verifikasi bahwa $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ adalah solusi dari $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \\ 8 \end{bmatrix}$. Hitung $A\mathbf{x}$ secara eksplisit.
  4. Selesaikan sistem berikut menggunakan eliminasi Gauss. Tunjukkan setiap langkah operasi baris.
    • (a) $x_1 + 2x_2 = 5$,   $3x_1 + 7x_2 = 18$
    • (b) $2x_1 + 4x_2 - x_3 = 6$,   $x_1 - x_2 + 3x_3 = 1$,   $3x_1 + x_2 + x_3 = 8$
    • (c) $x_1 + x_2 + x_3 = 1$,   $2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 5$
  5. Selesaikan sistem berikut. Jika diperlukan, lakukan penukaran baris terlebih dahulu.
    • (a) $x_2 + 3x_3 = 4$,   $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$,   $x_1 + 4x_3 = 7$
    • (b) $x_1 - x_2 + x_3 = 0$,   $x_1 + 2x_2 - x_3 = 3$,   $2x_1 + x_2 + 0x_3 = 3$
  6. Tentukan nilai $a$ agar sistem berikut konsisten: $x_1 + 2x_2 = 3$,   $2x_1 + 4x_2 = a$.
  7. Hitung transpose dari matriks berikut, lalu verifikasi sifat $(A^T)^T = A$: $$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 2 & 5 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
  8. Jika $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$, hitung $(AB)^T$ dan $B^T A^T$. Verifikasi bahwa keduanya sama (sifat 4 Teorema 1.1).
  9. Sebuah sistem $3 \times 3$ memiliki matriks augmented yang setelah eliminasi Gauss menjadi: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{array}\right]$$ Apakah sistem ini konsisten? Jelaskan.
  10. Soal pemikiran: Mengapa pada operasi baris kedua ($kR_i \to R_i$), konstanta $k$ tidak boleh nol, tetapi pada operasi baris ketiga ($R_i + kR_j \to R_i$), konstanta $k$ boleh bernilai apa saja (termasuk nol)? Apa yang terjadi jika $k = 0$ pada operasi ketiga?
Bab berikutnya
Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris