Basis, Dimensi & Rank

Tentukan apakah $S = \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\}$ bebas linear:

Penyelesaian: Susun SPL homogen dan reduksi ke REF:

Baris ketiga runtuh menjadi baris nol — kolom 3 menjadi variabel bebas. SPL homogen memiliki tak hingga solusi non-trivial (misalnya $c_3 = t$, maka $c_2 = -\tfrac{1}{2}t$, $c_1 = -\tfrac{7}{2}t$). Karena koefisien tak-nol eksis, $S$ bersifat bergantung linear.

Tentukan apakah $T = \{\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3\}$ bebas linear:

Penyelesaian: Susun SPL homogen dan reduksi ke REF:

Semua kolom mengandung pivot — tidak ada variabel bebas. Dari baris ketiga: $c_3 = 0$. Substitusi balik: $c_2 = 0$, lalu $c_1 = 0$. Satu-satunya solusi adalah solusi trivial, sehingga $T$ bersifat bebas linear.

Dari Contoh 8.1, kita mengetahui $S$ bergantung linear. Temukan relasi ketergantungan konkret — yaitu koefisien $(c_1, c_2, c_3) \neq (0,0,0)$ sehingga $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$.

Penyelesaian: Lanjutkan REF dari Contoh 8.1 ke RREF, atau selesaikan secara substitusi balik. Dari matriks REF:

Pilih $c_3 = 2$ (untuk menghilangkan pecahan): $c_1 = -1$, $c_2 = -1$, $c_3 = 2$. Verifikasi:

Relasi ketergantungan: $\mathbf{v}_3 = \tfrac{1}{2}\mathbf{v}_1 + \tfrac{1}{2}\mathbf{v}_2$, yang menunjukkan $\mathbf{v}_3$ bersifat redundan — ia telah tercakup dalam span $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$.

Buktikan bahwa $E = \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\}$ dengan $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ adalah basis bagi $\mathbb{R}^2$:

• Kebebasan linear: $c_1\mathbf{e}_1 + c_2\mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \implies c_1 = c_2 = 0$ saja (\checkmark)
• Merentang: Sebarang $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$ dinyatakan sebagai $x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2$ (\checkmark)

Tunjukkan bahwa $B = \{1 - x,\; 1 + x,\; x^2\}$ adalah basis bagi $P_2(\mathbb{R})$, lalu nyatakan $p(x) = 3 + 2x - x^2$ dalam koordinat basis $B$.

Bukti basis:

• Kebebasan linear: Misalkan $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(x^2) = 0$. Kelompokkan per pangkat:
  \[ (c_1 + c_2) + (-c_1 + c_2)\,x + c_3\,x^2 = 0 + 0x + 0x^2 \]
  Dari koefisien: $c_3 = 0$, lalu $c_1 + c_2 = 0$ dan $-c_1 + c_2 = 0$. Penjumlahan menghasilkan $2c_2 = 0 \implies c_2 = 0$, sehingga $c_1 = 0$. Hanya solusi trivial (\checkmark).
• Merentang: Karena $\dim(P_2) = 3$ dan $B$ memuat 3 vektor bebas linear, oleh argumen dimensi (Teorema 8.2), $B$ otomatis merentang $P_2$ (\checkmark).

Representasi koordinat: Cari $c_1, c_2, c_3$ sehingga $c_1(1-x) + c_2(1+x) + c_3(x^2) = 3 + 2x - x^2$:

Verifikasi: $\tfrac{1}{2}(1-x) + \tfrac{5}{2}(1+x) - x^2 = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}x + \tfrac{5}{2} + \tfrac{5}{2}x - x^2 = 3 + 2x - x^2$ (\checkmark).

Jadi, koordinat $p(x)$ relatif terhadap basis $B$ adalah $[p(x)]_B = \begin{bmatrix} 1/2 \\ 5/2 \\ -1 \end{bmatrix}_B$. Perhatikan bahwa koordinat ini berbeda dari koordinat standar $[3, 2, -1]^T$ — membuktikan bahwa koordinat memang bergantung pada pilihan basis (Teorema 8.1 menjamin keunikannya, bukan kesamaannya).

Ujilah apakah $B = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \right\}$ adalah basis bagi $\mathbb{R}^2$:

Gabungkan sebagai kolom matriks $A$ dan hitung determinan:

Karena $\det(A) \neq 0$, matriks $A$ invertibel. Berdasarkan IMT (Teorema 4.6 Poin 4 dan 5 yang kini diperluas dengan Pernyataan 8 tentang kolom bebas linear pada Bab 8), kolom-kolom $A$ dijamin bebas linear dan merentang $\mathbb{R}^2$. Maka $B$ adalah basis non-standar bagi $\mathbb{R}^2$.

Ujilah apakah $B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}$ adalah basis bagi $\mathbb{R}^3$ menggunakan determinan.

Penyelesaian: (Catatan: vektor-vektor ini sama dengan Contoh 8.1b, di mana kebebasan linear sudah dibuktikan via eliminasi. Sekarang kita verifikasi via determinan sebagai metode alternatif.)

Karena $\det(A) = 1 \neq 0$, matriks $A$ invertibel, sehingga $B$ adalah basis bagi $\mathbb{R}^3$. Hasil ini konsisten dengan kesimpulan Contoh 8.1b — kedua metode (eliminasi dan determinan) memberikan jawaban yang sama.

Diketahui $B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}\right\}$ adalah basis bagi $\mathbb{R}^2$ (Contoh 8.3). Nyatakan $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ dalam koordinat basis $B$.

Penyelesaian: Cari $c_1, c_2$ sehingga $c_1\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$, yaitu selesaikan $A\mathbf{c} = \mathbf{w}$ dengan $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$.

Metode 1 — Eliminasi:

Metode 2 — Matriks invers (memanfaatkan $\det(A) = -2$ dari Contoh 8.3):

Verifikasi: $(-2)\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} + \tfrac{5}{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+5 \\ -6+10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$ (\checkmark).

Jadi $[\mathbf{w}]_B = \begin{bmatrix} -2 \\ 5/2 \end{bmatrix}_B$. Perhatikan: dalam koordinat standar $\mathbf{w} = [3,\, 4]^T$, tetapi dalam koordinat basis $B$ menjadi $[-2,\, 5/2]^T$ — kedua representasi merujuk ke vektor fisik yang sama, hanya "kerangka acuan" yang berbeda.

Tentukan status kebebasan linear dari $S = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}\right\}$ di $\mathbb{R}^2$ tanpa melakukan eliminasi.

Penyelesaian: $\dim(\mathbb{R}^2) = 2$, tetapi $|S| = 3 > 2$. Oleh Korolari 8.1, setiap himpunan dengan lebih dari 2 vektor di $\mathbb{R}^2$ pasti bergantung linear. Jadi $S$ bergantung linear — tanpa perlu menyusun matriks atau melakukan OBE.

Verifikasi opsional (untuk menemukan relasi ketergantungan):

Dengan $c_3 = 1$: $c_1 = 1$, $c_2 = -2$. Relasi: $\mathbf{v}_1 - 2\mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$, atau $\mathbf{v}_3 = -\mathbf{v}_1 + 2\mathbf{v}_2$. Geometris: ketiga vektor ini terletak pada bidang $\mathbb{R}^2$ yang hanya berdimensi 2, sehingga salah satunya pasti merupakan kombinasi linear dari yang lain.

Dapatkan basis bagi $\text{Row}(A)$ dan $\text{Col}(A)$ dari:

Pivot terletak pada kolom 1 dan kolom 2.

• Basis $\text{Row}(A)$ (baris tak-nol dari $U$):   $\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \right\}$
• Basis $\text{Col}(A)$ (kolom asli $A$ pada posisi pivot):   $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \right\}$

Dengan demikian, $\text{rank}(A) = 2$.

Diberikan matriks $3 \times 4$:

Tentukan: (a) basis $\text{Row}(A)$, (b) basis $\text{Col}(A)$, (c) basis $\text{Nul}(A)$, (d) $\text{rank}(A)$ dan $\text{nullity}(A)$, lalu (e) verifikasi Teorema Rank-Nullity.

Langkah 1 — Reduksi ke REF:

Pivot pada kolom 1 dan kolom 2. Kolom 3 dan 4 adalah kolom bebas.

(a) Basis $\text{Row}(A)$ — baris non-nol dari $U$:

(b) Basis $\text{Col}(A)$ — kolom asli $A$ pada posisi pivot (kolom 1 dan 2):

(c) Basis $\text{Nul}(A)$ — selesaikan $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ dari REF. Dengan $x_3 = s$ dan $x_4 = t$ (variabel bebas):

(d) Rank dan Nullity:

(e) Verifikasi Rank-Nullity: Jumlah kolom $A$ adalah $n = 4$.

Observasi penting: Perhatikan bahwa $\text{Row}(A)$ dan $\text{Nul}(A)$ keduanya berada di $\mathbb{R}^4$ (karena keduanya terkait kolom/baris matriks $3 \times 4$), sedangkan $\text{Col}(A)$ berada di $\mathbb{R}^3$. Meskipun $\dim(\text{Row}(A)) = \dim(\text{Col}(A)) = 2$, kedua ruang ini hidup di ruang yang berbeda — dimensi sama bukan berarti ruangnya sama.

Matriks $A$ berukuran $6 \times 9$ diketahui memiliki $\text{rank}(A) = 4$. Tentukan $\text{nullity}(A)$ dan jelaskan maknanya.

Penyelesaian: Oleh Teorema Rank-Nullity, dengan $n = 9$ kolom:

Interpretasi:

• Dari 9 kolom $A$, hanya 4 yang "berguna" (membentuk basis $\text{Col}(A)$); 5 kolom lainnya redundan — masing-masing merupakan kombinasi linear dari kolom pivot.
• Ruang nul $\text{Nul}(A)$ berdimensi 5 di $\mathbb{R}^9$, artinya SPL $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ memiliki 5 parameter bebas — terdapat tak hingga solusi non-trivial.
• Jika $\mathbf{b} \in \text{Col}(A)$, maka $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ memiliki solusi, dan himpunan solusinya berbentuk $\mathbf{x}_p + \text{Nul}(A)$ — yaitu satu solusi partikular ditambah ruang berdimensi 5.

Contoh ini menunjukkan kekuatan Teorema Rank-Nullity: kita dapat menyimpulkan semua informasi di atas hanya dari satu angka ($\text{rank} = 4$) tanpa perlu melihat entri matriks $A$ sama sekali.

Diketahui matriks persegi $A$ berordo $4 \times 4$ dengan $\det(A) = 0$. Tentukan kemungkinan nilai $\text{rank}(A)$ dan $\text{nullity}(A)$, lalu hubungkan dengan Teorema Invertibel Matriks.

Penyelesaian: Karena $\det(A) = 0$, matriks $A$ tidak invertibel (IMT Poin 7, Bab 5). Oleh IMT Poin 3 yang diperluas (Bab 8), $A$ tidak memiliki 4 pivot, sehingga $\text{rank}(A) < 4$. Kemungkinan:

Untuk menentukan kasus mana yang terjadi, kita perlu melihat entri $A$ secara langsung (melakukan eliminasi Gauss). Namun, Teorema Rank-Nullity sudah mempersempit kemungkinan dari tak terhingga menjadi hanya 4 kasus — sebuah penyederhanaan dramatis.

Koneksi IMT: Jika sebaliknya $\det(A) \neq 0$, maka $\text{rank}(A) = 4$ dan $\text{nullity}(A) = 0$, yang berarti $\text{Nul}(A) = \{\mathbf{0}\}$ — seluruh rangkaian ekuivalensi IMT terpenuhi secara bersamaan.