Bab 5

Determinan

Bab 4 membahas invertibilitas matriks secara operasional melalui OBE dan menganugerahkan kita Tujuh Pernyataan Ekuivalen IMT. Bab ini melengkapi arsenal tersebut dengan sebuah kriteria skalar tunggal bernama determinan — sebuah bilangan real yang dapat dihitung dari entri-entri matriks persegi dan yang secara langsung menjawab pertanyaan invertibilitas tanpa perlu menyentuh OBE sama sekali. Perjalanan kita dimulai dari definisi asli Leibniz yang memandang determinan sebagai jumlah bertanda atas seluruh kemungkinan produk permutasi entri. Dari sini, dua aksioma fundamental — determinan matriks identitas bernilai $1$, dan determinan matriks dengan baris atau kolom berulang bernilai nol — secara unik menentukan tanda setiap suku. Proses "pilih satu entri lalu tutup baris dan kolomnya" kemudian secara alami menghasilkan rumus ekspansi kofaktor Laplace, yang selanjutnya membuka jalan bagi algoritma eliminasi Gauss yang efisien. Bab ini diakhiri dengan dua aplikasi klasik: rumus invers analitis dan Aturan Cramer.

5.1 Definisi Leibniz: Struktur Permutasi Determinan

Untuk menghitung determinan matriks persegi berukuran $n \times n$, kita harus mempertimbangkan seluruh cara memilih $n$ buah entri dengan syarat ketat: tepat satu entri dari setiap baris dan tepat satu entri dari setiap kolom. Setiap pemilihan semacam ini menghasilkan sebuah produk dari $n$ entri, dan setiap produk tersebut diberikan sebuah tanda $\varepsilon \in \{+1, -1\}$.

Prosedurnya bersifat mekanis: pilih satu entri, silang (tutup) seluruh baris dan kolom yang memuat entri tersebut, lalu ulangi pada entri yang tersisa hingga semua baris dan kolom terpilih. Mari kita ilustrasikan pada matriks $2 \times 2$:

Pilih a (baris 1, kolom 1), silang baris 1 & kolom 1 — tersisa d

→

Produk: a × d = ad

Pilih b (baris 1, kolom 2), silang baris 1 & kolom 2 — tersisa c

→

Produk: b × c = bc

Dipilih Disilang Tersisa

Terlihat bahwa terdapat tepat $2! = 2$ cara pemilihan — setiap cara memilih satu entri dari baris pertama, lalu menutup baris dan kolomnya, meninggalkan tepat satu entri tersisa. Determinan matriks $2 \times 2$ adalah jumlah bertanda dari kedua produk tersebut:

\[ \det\!\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \varepsilon_1 \cdot ad \;+\; \varepsilon_2 \cdot bc \]

Untuk matriks berordo $3 \times 3$, proses yang sama menghasilkan $3! = 6$ cara pemilihan: pilih satu entri dari baris pertama (3 pilihan), tutup baris dan kolomnya, lalu selesaikan sisa $2 \times 2$ (2 pilihan per entri baris pertama) — total $3 \times 2! = 6$. Untuk ordo $n \times n$, terdapat $n!$ cara pemilihan. Secara umum:

Definisi 5.1 — Struktur Leibniz untuk Determinan

Misalkan $A$ adalah matriks persegi $n \times n$ dan $S_n$ menyatakan himpunan seluruh permutasi dari $\{1, 2, \ldots, n\}$. Nilai determinan dari $A$, dinotasikan $\det(A)$ atau $|A|$, didefinisikan sebagai:

\[ \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon_\sigma \; a_{1,\sigma(1)} \; a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)} \]

di mana $\sigma(i)$ menyatakan kolom yang dipilih pada baris ke-$i$ oleh permutasi $\sigma$, dan $\varepsilon_\sigma \in \{+1, -1\}$ adalah tanda yang melekat pada permutasi tersebut. Pertanyaan kunci yang belum terjawab: bagaimana menentukan $\varepsilon_\sigma$ untuk setiap $\sigma$?

Koneksi Intuitif ke Geometri Bab 2

Pada Bab 2, kita mengetahui bahwa luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dua vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^2$ bertepatan dengan nilai absolut determinan matriks $[\mathbf{u} \;\; \mathbf{v}]$. Konsep ini mengeneralisasi ke dimensi yang lebih tinggi: determinan matriks $n \times n$ mengukur n-volume dari paralelopipedum yang dibentangkan oleh $n$ vektor kolomnya. Struktur Leibniz — menjumlahkan produk bertanda dari entri yang tersebar di setiap baris dan kolom — secara geometris menangkap bagaimana setiap vektor kolom berkontribusi terhadap volume total. Jika determinan bernilai nol, volume runtuh — objek tersebut "rata" dan kehilangan dimensi, yang secara aljabar setara dengan kegagalan invertibilitas.

5.2 Dua Aksioma Fundamental dan Kasus Matriks $2 \times 2$

Dari ilustrasi pada Bagian 5.1, determinan $2 \times 2$ memiliki bentuk $\det(A) = \varepsilon_1 \cdot ad + \varepsilon_2 \cdot bc$ dengan dua tanda yang belum diketahui. Untuk menentukannya, kita mengimposkan dua aksioma yang secara historis dan logis menjadi fondasi teori determinan:

Aksioma 5.1 — Dua Syarat Fundamental Determinan

Aksioma Identitas: $\det(I_n) = 1$ untuk setiap matriks identitas $I_n$.
Aksioma Baris/Kolom Berulang: Jika matriks $A$ memiliki dua baris yang identik atau dua kolom yang identik, maka $\det(A) = 0$.

Penentuan $\varepsilon_1$ dari Aksioma Identitas:

Matriks identitas $I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ memiliki $ad = 1 \cdot 1 = 1$ dan $bc = 0 \cdot 0 = 0$. Maka:

\[ \det(I_2) = \varepsilon_1 \cdot 1 + \varepsilon_2 \cdot 0 = \varepsilon_1 \overset{\text{Aks.\,1}}{=} 1 \implies \boxed{\varepsilon_1 = +1} \]

Penentuan $\varepsilon_2$ dari Aksioma Baris/Kolom Berulang:

Pertimbangkan matriks dengan kolom yang berulang: $\begin{bmatrix} a & a \\ c & c \end{bmatrix}$. Kedua suku Leibniz menghasilkan produk yang sama, yaitu $ac$:

\[ \det\!\begin{pmatrix} a & a \\ c & c \end{pmatrix} = \varepsilon_1 \cdot ac + \varepsilon_2 \cdot ac = (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)\, ac \overset{\text{Aks.\,2}}{=} 0 \]

Karena persamaan ini harus berlaku untuk semua nilai $a$ dan $c$ (termasuk $a,c \neq 0$), maka:

\[ \varepsilon_1 + \varepsilon_2 = 0 \implies \varepsilon_2 = -\varepsilon_1 = -1 \implies \boxed{\varepsilon_2 = -1} \]

Dengan demikian, determinan matriks $2 \times 2$ secara lengkap dan unik ditentukan:

Teorema 5.1 — Determinan Matriks $2 \times 2$

\[ \det\!\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc \]

Perhatikan pola tanda yang muncul: entri pada posisi $(1,1)$ mendapat tanda $+$, dan entri pada posisi $(1,2)$ mendapat tanda $-$. Pola selang-seling ini — yang dikenal sebagai pola papan catur (checkerboard) — bukan kebetulan. Pada bagian berikutnya kita akan menunjukkan bahwa pola yang sama berlaku konsisten untuk sebarang ordo, dan tanda pada posisi $(i,j)$ selalu $(-1)^{i+j}$.

5.3 Sifat-Sifat Aljabar Determinan

Dengan struktur Leibniz dan nilai determinan $2 \times 2$ yang telah mapan, kita dapat menurunkan sifat-sifat fundamental determinan secara langsung dari definisi — tanpa memerlukan rumus kofaktor.

Teorema 5.2 — Efek Operasi Baris Elementer Terhadap Determinan

Misalkan $A$ adalah matriks persegi, dan $B$ adalah matriks hasil setelah dikenakan satu langkah OBE tunggal. Maka:

Jenis I (Penukaran Baris): $R_i \leftrightarrow R_j$ → $\det(B) = -\det(A)$
Jenis II (Perkalian Skalar): $kR_i \to R_i$ → $\det(B) = k \cdot \det(A)$
Jenis III (Penjumlahan Kelipatan Baris): $R_i + kR_j \to R_i$ → $\det(B) = \det(A)$

Bukti Langsung dari Definisi Leibniz

Jenis I: Menukar dua baris dalam matriks setara dengan mengomposisikan setiap permutasi $\sigma$ dengan satu transposisi $(i\;j)$. Karena transposisi membalikkan paritas setiap permutasi, setiap tanda $\varepsilon_\sigma$ berbalik. Akibatnya, seluruh jumlah berbalik tanda: $\det(B) = -\det(A)$. ∎

Jenis II: Setiap suku dalam jumlah Leibniz memuat tepat satu faktor dari baris ke-$i$. Mengalikan baris tersebut dengan $k$ mengalikan setiap suku — dan karenanya seluruh jumlah — oleh $k$: $\det(B) = k \cdot \det(A)$. ∎

Jenis III: Setelah operasi $R_i + kR_j \to R_i$, entri baru pada baris $i$ kolom $\sigma(i)$ menjadi $a_{i,\sigma(i)} + k \cdot a_{j,\sigma(i)}$. Karena setiap suku Leibniz bersifat linear terhadap entri baris ke-$i$ (setiap suku memuat tepat satu faktor dari baris tersebut), jumlah tersebut terpecah menjadi dua bagian: bagian pertama menyusun kembali $\det(A)$, dan bagian kedua berbentuk $k$ kali determinan matriks yang baris ke-$i$-nya diganti oleh baris ke-$j$ — yang bernilai nol oleh Aksioma 5.1(2). Jadi $\det(B) = \det(A) + 0 = \det(A)$. ∎

Teorema 5.3 — Determinan Matriks Segitiga

Jika matriks $A$ berukuran $n \times n$ bersifat segitiga atas atau segitiga bawah, maka determinannya sama dengan hasil perkalian seluruh entri diagonal utamanya:

\[ \det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} \]

Bukti singkat: Dalam jumlah Leibniz untuk matriks segitiga atas, setiap permutasi $\sigma$ yang bukan identitas memiliki setidaknya satu indeks $i$ dengan $\sigma(i) < i$. Entri $a_{i,\sigma(i)}$ terletak di bawah diagonal utama sehingga bernilai nol. Hanya permutasi identitas yang menghasilkan suku non-nol, yaitu $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$, dengan tanda $+1$ (dari Aksioma Identitas). ∎

Teorema 5.4 — Sifat Transpose, Multiplikatif, dan Invers

Untuk matriks persegi $A$ dan $B$ berukuran $n \times n$, berlaku:

Sifat Transpose: $\det(A^T) = \det(A)$
Sifat Multiplikatif: $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$
Sifat Invers: Jika $A$ invertibel, maka $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$

Catatan penting: Sifat perkalian berlaku konstan, tetapi sifat penjumlahan tidak berlaku. Secara umum, $\det(A + B) \neq \det(A) + \det(B)$.

Sifat Transpose: Aksioma 5.1(2) bersifat simetris terhadap penukaran peran baris dan kolom (keduanya menyebabkan determinan nol). Oleh karena itu, proses penentuan tanda dari kedua aksioma menghasilkan penugasan yang identik baik saat kita "memilih per baris" maupun "memilih per kolom." Ini menjamin $\det(A^T) = \det(A)$.

Bukti Sifat Multiplikatif: $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$

Langkah kunci: Untuk setiap matriks elementer $E$ dan matriks persegi $X$ sebarang, berlaku $\det(EX) = \det(E) \cdot \det(X)$. Fakta ini dibuktikan langsung dari definisi Leibniz untuk masing-masing jenis $E$ — dan sejatinya inilah yang telah kita buktikan pada Teorema 5.2 (di sana $B = EA$ dan $\det(E)$ bernilai $-1$, $k$, atau $1$ sesuai jenisnya).

Kasus 1 — $A$ singular:

Matriks $A$ dapat direduksi menjadi matriks $A'$ yang memiliki sebuah baris nol melalui serangkaian OBE: $A' = E_k \cdots E_1 A$. Karena baris ke-$r$ dari $A'$ adalah nol, baris ke-$r$ dari $A'B = A' \times B$ juga nol. Dari Teorema 5.3, $\det(A') = 0$ dan $\det(A'B) = 0$. Dengan menerapkan Teorema 5.2 secara berulang:

\[ \det(A) = c \cdot \det(A') = 0, \qquad \det(AB) = c \cdot \det(A'B) = 0 \]

di mana $c = \det(E_k) \cdots \det(E_1)$. Jadi $\det(AB) = 0 = 0 \cdot \det(B) = \det(A) \cdot \det(B)$. ∎

Kasus 2 — $A$ invertibel:

Berdasarkan Teorema 4.6 Poin (1) ⇒ (2), matriks $A$ dapat difaktorkan menjadi produk matriks elementer: $A = E_k \cdots E_1$. Maka:

\[ \det(AB) = \det(E_k \cdots E_1 B) = \det(E_k) \cdots \det(E_1) \cdot \det(B) = \det(A) \cdot \det(B) \qquad \square \]

Bukti Sifat Invers: $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)}$

Karena $A$ invertibel, $AA^{-1} = I_n$. Terapkan sifat multiplikatif pada kedua ruas:

\[ \det(AA^{-1}) = \det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1 \]

Selesaikan untuk $\det(A^{-1})$ dengan membagi kedua ruas oleh $\det(A)$ (yang dijamin non-nol karena $A$ invertibel):

\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \qquad \square \]

Peringatan: Skalar Matriks vs Skalar Baris

Berdasarkan Teorema 5.2 Sifat 2, mengalikan satu baris dengan $k$ mengalikan determinan dengan $k$. Jika seluruh matriks $A$ berukuran $n \times n$ dikalikan dengan skalar $k$ (operasi $kA$), maka setiap dari $n$ baris terpengaruh, sehingga:

\[ \det(kA) = k^n \cdot \det(A) \]

Jangan sampai tertukar antara mengalikan satu baris ($\times\, k$) dengan mengalikan seluruh matriks ($\times\, k^n$).

5.4 Dari Permutasi ke Kofaktor: Analisis Kasus $3 \times 3$

Sekarang kita terapkan prosedur pilih–tutup–sisa yang sama pada matriks $3 \times 3$. Misalkan:

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \]

Kita kelompokkan seluruh $3! = 6$ suku Leibniz berdasarkan entri baris pertama yang dipilih. Setiap pemilihan dari baris pertama menyisakan sub-matriks $2 \times 2$ yang determinannya sudah diketahui dari Teorema 5.1:

Kelompok α: Pilih a₁₁, silang baris 1 & kolom 1 — tersisa sub-matriks $2\times 2$ (hijau)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

→

$s_{11} \cdot a_{11} \!\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

Kelompok β: Pilih a₁₂, silang baris 1 & kolom 2 — tersisa sub-matriks $2\times 2$ (hijau)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

→

$s_{12} \cdot a_{12} \!\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$

Kelompok γ: Pilih a₁₃, silang baris 1 & kolom 3 — tersisa sub-matriks $2\times 2$ (hijau)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

→

$s_{13} \cdot a_{13} \!\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

"Tanda dalam" setiap kelompok sudah terselesaikan oleh rumus $ad - bc$ dari Teorema 5.1. Yang tersisa hanyalah tiga tanda luar $s_{11}$, $s_{12}$, dan $s_{13}$ — dan kita menentukannya dengan metode yang persis sama seperti pada kasus $2 \times 2$.

Penentuan Tanda Luar dari Dua Aksioma

Dari Aksioma Identitas ($s_{11}$):

$I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$. Hanya kelompok $\alpha$ yang menghasilkan suku non-nol: $s_{11} \cdot 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0) = s_{11}$. Karena $\det(I_3) \overset{\text{Aks.\,1}}{=} 1$:

\[ s_{11} = +1 \]

Dari Aksioma Baris/Kolom Berulang ($s_{12}$):

Pertimbangkan matriks dengan kolom 1 = kolom 2: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}$. Kelompok $\alpha$ dan $\beta$ kini memuat faktor yang sama (karena $a_{12} = a_{11}$ dan sub-matriks setelah tutup kolom 1 vs kolom 2 menghasilkan determinan $2 \times 2$ yang identik). Kelompok $\gamma$ bernilai nol karena sub-matriksnya memiliki baris berulang. Maka:

\[ 0 \overset{\text{Aks.\,2}}{=} \det = (s_{11} + s_{12}) \cdot a_{11}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) \]

Agar berlaku untuk semua matriks: $s_{11} + s_{12} = 0 \implies s_{12} = -s_{11} = -1$.

Dari Aksioma Baris/Kolom Berulang ($s_{13}$):

Pertimbangkan matriks dengan kolom 2 = kolom 3: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} & a_{32} \end{bmatrix}$. Dengan argumen serupa, kelompok $\alpha$ bernilai nol (sub-matriks berulang), sedangkan kelompok $\beta$ dan $\gamma$ menghasilkan suku yang sama:

\[ 0 \overset{\text{Aks.\,2}}{=} \det = (s_{12} + s_{13}) \cdot a_{12}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \]

Agar berlaku untuk semua matriks: $s_{12} + s_{13} = 0 \implies s_{13} = -s_{12} = +1$.

Kesimpulan: Tanda luar untuk baris pertama adalah $(s_{11},\, s_{12},\, s_{13}) = (+1,\, -1,\, +1)$, yang persis cocok dengan pola $(-1)^{1+1},\; (-1)^{1+2},\; (-1)^{1+3}$.

Substitusi tanda-tanda ini menghasilkan rumus ekspansi sepanjang baris pertama untuk matriks $3 \times 3$:

\[ \det(A) = \underbrace{(+1)}_{(-1)^{1+1}} a_{11}\!\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} + \underbrace{(-1)}_{(-1)^{1+2}} a_{12}\!\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + \underbrace{(+1)}_{(-1)^{1+3}} a_{13}\!\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \]

Struktur ini bukan kebetulan — ini adalah ekspansi kofaktor. Operasi "pilih entri, tutup baris dan kolomnya, hitung determinan sisa" secara sistematis mendekomposisi determinan ordo $n$ menjadi determinan-determinan ordo $n{-}1$, dengan tanda papan catur $(-1)^{i+j}$ yang diturunkan secara langsung dari dua aksioma fundamental.

Contoh 5.1 — Menghitung Determinan $3 \times 3$ via Ekspansi Baris Pertama

Hitunglah determinan dari matriks persegi $A$ berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 0 \\ 2 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian:

Ekspansi sepanjang baris pertama menghasilkan tiga kelompok. Namun, karena $a_{13} = 0$, kelompok ketiga langsung lenyap:

\[ \det(A) = (+1)(1)\!\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} + (-1)(5)\!\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} + (+1)(0)\!\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \]

Hitung setiap determinan $2 \times 2$ (menggunakan rumus $ad - bc$):

\[ \det(A) = 1 \cdot \big(4 \cdot 0 - (-1)(-2)\big) - 5 \cdot \big(2 \cdot 0 - (-1)(0)\big) + 0 \]

\[ \det(A) = 1 \cdot (0 - 2) - 5 \cdot (0 - 0) = -2 \]

Catatan: Aturan Sarrus vs Ekspansi Kofaktor

Untuk matriks $3 \times 3$, terdapat heuristik komputasi bernama Aturan Sarrus yang menghindari sub-determinan eksplisit. Namun, aturan ini hanya berlaku untuk ordo $3 \times 3$ dan gagal total pada ordo $4 \times 4$ ke atas. Metode ekspansi kofaktor yang kita turunkan di atas, sebaliknya, bersifat umum — dan seperti yang akan kita lihat pada bagian berikutnya, proses "pilih dan tutup" yang sama dapat diterapkan secara rekursif pada sebarang ordo.

5.5 Minor, Kofaktor, dan Ekspansi Laplace

Analisis pada Bagian 5.4 mengungkapkan pola yang dapat digeneralisasi. Operasi "tutup baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$" menghasilkan sub-matriks $(n{-}1) \times (n{-}1)$ yang determinannya menjadi "bahan baku" dari setiap suku. Kita formalisasikan konsep ini:

Definisi 5.2 — Minor dan Kofaktor

Misalkan $A$ adalah matriks persegi $n \times n$, dan $a_{ij}$ adalah entri pada baris ke-$i$ kolom ke-$j$:

Minor ($M_{ij}$): Determinan dari sub-matriks berukuran $(n-1) \times (n-1)$ yang terbentuk setelah menghapus baris ke-$i$ dan kolom ke-$j$ dari matriks $A$.
Kofaktor ($C_{ij}$): Minor yang dimodifikasi tanda oleh pola papan catur:
\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} \, M_{ij} \]

Tanda $(-1)^{i+j}$ yang muncul di sini bukan didefinisikan secara arbitrer — ia diturunkan dari Aksioma 5.1 melalui mekanisme yang persis sama dengan analisis kasus $3 \times 3$ pada Bagian 5.4. Argumennya bersifat induktif: untuk matriks $n \times n$, kelompokkan suku Leibniz berdasarkan entri baris ke-1; "tanda dalam" setiap kelompok ditangani oleh determinan $(n{-}1) \times (n{-}1)$ (yang sudah diketahui oleh hipotesis induksi); Aksioma Identitas memberikan $s_{11} = +1$; dan Aksioma Baris/Kolom Berulang dengan $n{-}1$ pasangan kolom berurutan memberikan $s_{1,j} + s_{1,j+1} = 0$ untuk setiap $j$, menghasilkan $s_{1j} = (-1)^{j-1} = (-1)^{1+j}$. Argumen yang identik berlaku untuk baris mana pun.

Pemberian tanda $(-1)^{i+j}$ menciptakan pola papan catur yang berselingan:

\[ \begin{bmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \cdots \\ + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \]

Teorema 5.5 — Ekspansi Kofaktor Laplace

Nilai determinan matriks persegi $A$ berukuran $n \times n$ dapat dihitung dengan menjumlahkan hasil kali entri pada sebarang baris tunggal atau sebarang kolom tunggal dengan kofaktornya:

Ekspansi Baris ke-$i$: $\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in}$
Ekspansi Kolom ke-$j$: $\det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj}$

Pilihan Strategis Baris/Kolom

Ekspansi kofaktor sepanjang baris atau kolom mana pun menghasilkan nilai determinan yang identik secara mutlak. Pilih baris atau kolom yang memiliki entri nol paling banyak untuk memangkas jumlah kalkulasi kofaktor secara drastis.

Perkalian Silang Baris: Entri Baris ke-$i$ × Kofaktor Baris ke-$j$ $= 0$ (jika $i \neq j$)

Teorema 5.5 membahas ekspansi sepanjang baris yang sama — entri baris ke-$i$ dikalikan kofaktor baris ke-$i$. Pertanyaan alami: apa yang terjadi jika kita mencampur baris, yaitu mengalikan entri baris ke-$i$ dengan kofaktor baris ke-$j$ untuk $i \neq j$?

Jawabannya adalah nol, dan buktinya langsung menggunakan Aksioma 5.1(2). Ide intinya: jumlah tersebut secara struktural identik dengan menghitung determinan sebuah matriks yang memiliki dua baris identik.

Ilustrasi konkret ($3 \times 3$, $i = 1$, $j = 2$):

Konstruksi matriks $B$ yang identik dengan $A$, kecuali baris ke-2 diganti oleh salinan baris ke-1:

Baris ke-2 disalin dari baris ke-1 → kedua baris identik (kuning)

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

→

Baris 1 = Baris 2
det(B) = 0 (Aksioma 5.1)

Baris berulang Tidak berubah

Sekarang hitung $\det(B)$ dengan ekspansi sepanjang baris ke-2 (baris yang kita modifikasi):

\[ \det(B) = b_{21}\,C_{21}(B) + b_{22}\,C_{22}(B) + b_{23}\,C_{23}(B) \]

Perhatikan dua fakta kunci:

Entri baris ke-2 dari $B$ adalah salinan baris ke-1 dari $A$: $b_{21} = a_{11}$, $b_{22} = a_{12}$, $b_{23} = a_{13}$.
Kofaktor baris ke-2 dari $B$ sama persis dengan kofaktor baris ke-2 dari $A$ (karena kofaktor baris ke-2 dihitung dengan menghapus baris ke-2 — dan baris-baris lainnya tidak berubah antara $A$ dan $B$): $C_{2k}(B) = C_{2k}(A)$.

Substitusi kedua fakta ini:

\[ 0 = \det(B) = a_{11}\,C_{21}(A) + a_{12}\,C_{22}(A) + a_{13}\,C_{23}(A) = \sum_{k=1}^{3} a_{1k}\,C_{2k} \]

Hasilnya tepat nol — perkalian entri baris ke-1 dengan kofaktor baris ke-2 menghasilkan nol, karena secara struktural kita sedang menghitung determinan matriks dengan dua baris identik.

Bukti umum ($n \times n$, sebarang $i \neq j$):

Konstruksi $B$ identik dengan $A$ kecuali baris ke-$j$ diganti oleh baris ke-$i$. Maka baris ke-$i$ dan baris ke-$j$ dari $B$ identik, sehingga $\det(B) = 0$ oleh Aksioma 5.1(2). Ekspansi $\det(B)$ sepanjang baris ke-$j$:

\[ 0 = \det(B) = \sum_{k=1}^{n} b_{jk}\,C_{jk}(B) = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk}(A) \qquad \square \]

Versi kolom: Dengan argumen serupa (atau langsung dari sifat transpose), untuk $i \neq j$:

\[ \sum_{k=1}^{n} a_{ki}\,C_{kj} = 0 \]

Penting: Sifat perkalian silang ini bukan sekadar kuriositas aljabar — ia merupakan kunci pembuktian rumus invers adjoint pada Bagian 5.7. Tanpa sifat ini, kita hanya tahu bahwa perkalian entri baris dengan kofaktor baris yang sama menghasilkan $\det(A)$; sifat silang menjamin bahwa perkalian dengan baris berbeda menghasilkan $0$ — sehingga $A \cdot \mathrm{adj}(A)$ menghasilkan matriks diagonal, bukan matriks sembarang.

Batasan Kompleksitas Metode Kofaktor Murni

Ekspansi kofaktor Laplace memerlukan sekitar $n!$ operasi perkalian untuk matriks berordo $n \times n$. Untuk matriks berukuran moderat ($n = 25$), jumlah operasinya mendekati $1.5 \times 10^{25}$ — sebuah angka yang mustahil diselesaikan oleh superkomputer tercepat sekalipun dalam waktu yang wajar. Kita membutuhkan strategi alternatif yang memanfaatkan operasi baris elementer.

5.6 Perhitungan Determinan via Eliminasi Gauss

Teorema 5.2 memberikan kita strategi komputasi yang jauh lebih efisien. Alih-alih menggunakan ekspansi kofaktor ($O(n!)$), kita dapat mereduksi matriks menjadi bentuk segitiga melalui OBE sambil mengacak determinan dari setiap langkah operasi yang diterapkan — memanfaatkan hubungan antara matriks elementer (Bab 4) dan determinan yang telah kita buktikan secara langsung dari definisi Leibniz.

Koneksi ke Matriks Elementer Bab 4

Pada Bab 4, setiap OBE ditunjukkan setara dengan perkalian kiri oleh matriks elementer. Bukti Teorema 5.2 menunjukkan bahwa determinan matriks elementer adalah: $\det(E_{ij}) = -1$ (Jenis I), $\det(E_i(k)) = k$ (Jenis II), dan $\det(E_{ij}(k)) = 1$ (Jenis III). Seluruh perilaku determinan di bawah operasi baris dapat diringkas menjadi tiga bilangan sederhana ini.

Contoh 5.2 — Menghitung Determinan via Reduksi Baris Elementer

Hitunglah determinan matriks $A$ berikut menggunakan eliminasi Gauss:

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 8 \\ 3 & 9 & 3 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian:

Tukar baris 1 dan baris 2 ($R_1 \leftrightarrow R_2$), determinan berbalik tanda:
\[ \det(A) = - \begin{vmatrix} 2 & 4 & 8 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix} \]
Faktorkan skalar $2$ keluar dari baris pertama ($R_1 \div 2$):
\[ \det(A) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 3 & 9 & 3 \end{vmatrix} \]
Bersihkan entri di bawah pivot pertama kolom 1 melalui operasi baris $R_3 - 3R_1$ (Jenis III — determinan tidak berubah):
\[ \det(A) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -9 \end{vmatrix} \]
Bersihkan entri di bawah pivot kedua kolom 2 melalui operasi baris $R_3 - 3R_2$ (Jenis III — determinan tidak berubah):
\[ \det(A) = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -15 \end{vmatrix} \]

Matriks telah membentuk struktur segitiga atas. Determinan dihitung dengan mengalikan elemen diagonal utamanya (Teorema 5.3):

\[ \det(A) = -2 \cdot \big( 1 \times 1 \times (-15) \big) = -2 \cdot (-15) = 30 \]

5.7 Matriks Adjoint dan Formulasi Invers Analitis

Definisi 5.3 — Matriks Adjoint

Misalkan $A$ adalah matriks persegi $n \times n$ dengan kofaktor elemen $C_{ij}$:

Matriks Adjoint ($\text{adj}(A)$): Operasi transpose dari matriks kofaktor, dirumuskan formal:
\[ \text{adj}(A) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix} \]

Perkalian $A \cdot \mathrm{adj}(A)$: Matriks Diagonal $\det(A) \cdot I_n$

Mari kita hitung hasil perkalian $A \cdot \mathrm{adj}(A)$ secara eksplisit. Perhatikan bahwa entri pada baris ke-$j$ dari $\mathrm{adj}(A)$ adalah $C_{j1},\, C_{j2},\, \ldots,\, C_{jn}$ (karena adjoint adalah transpose matriks kofaktor). Maka entri pada posisi $(i, j)$ dari hasil perkalian adalah:

\[ \big[A \cdot \mathrm{adj}(A)\big]_{ij} = a_{i1}\,C_{j1} + a_{i2}\,C_{j2} + \cdots + a_{in}\,C_{jn} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,C_{jk} \]

Visualisasi dengan Kasus Matriks $3 \times 3$:

Untuk memahami mekanisme ini, mari kita kalikan matriks $A$ ukuran $3 \times 3$ dengan matriks $\mathrm{adj}(A)$ (ingat bahwa indeks kofaktor $C$ pada matriks adjoint terbalik akibat operasi transpose):

\[ A \cdot \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{31} \\ C_{12} & C_{22} & C_{32} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} \end{bmatrix} \]

Jika kita lakukan perkalian baris dikali kolom secara manual, kita akan mendapatkan:

\[ = \begin{bmatrix} (a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}) & (a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} + a_{13}C_{23}) & (a_{11}C_{31} + a_{12}C_{32} + a_{13}C_{33}) \\ (a_{21}C_{11} + a_{22}C_{12} + a_{23}C_{13}) & (a_{21}C_{21} + a_{22}C_{22} + a_{23}C_{23}) & (a_{21}C_{31} + a_{22}C_{32} + a_{23}C_{33}) \\ (a_{31}C_{11} + a_{32}C_{12} + a_{33}C_{13}) & (a_{31}C_{21} + a_{32}C_{22} + a_{33}C_{23}) & (a_{31}C_{31} + a_{32}C_{32} + a_{33}C_{33}) \end{bmatrix} \]

Terdapat dua kemungkinan nilai untuk setiap entri $(i, j)$ di atas:

Jika $i = j$ (entri diagonal utama seperti posisi $(1,1)$, $(2,2)$, $(3,3)$): jumlah ini tepat merupakan ekspansi kofaktor $\det(A)$ sepanjang baris tersebut, sehingga menghasilkan nilai bernilai bernilai bernilai $\det(A)$.
Jika $i \neq j$ (entri di luar diagonal utama seperti posisi $(1,2)$, $(2,1)$, dll): jumlah ini adalah perkalian silang — elemen baris ke-$i$ dikalikan kofaktor dari baris ke-$j$. Hal ini setara dengan mencari determinan sebuah matriks yang memiliki dua baris identik, sehingga nilainya terbukti pasti $0$.

Oleh karena itu, seluruh entri off-diagonal bernilai nol dan seluruh entri diagonal bernilai $\det(A)$. Hasil perkaliannya membentuk matriks diagonal:

\[ A \cdot \mathrm{adj}(A) = \begin{bmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{bmatrix} = \det(A) \cdot I_3 \]

Teorema 5.6 — Formulasi Analitis Matriks Invers

Dari hasil di atas, jika $\det(A) \neq 0$, kita dapat membagi kedua ruas $A \cdot \mathrm{adj}(A) = \det(A) \cdot I_n$ oleh $\det(A)$:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \mathrm{adj}(A) \]

Konteks Praktis Rumus Adjoint

Formulasi $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ memiliki nilai penting secara teoretis — rumus ini membuktikan eksistensi invers secara eksplisit dan digunakan dalam pembuktian berbagai teorema lanjutan. Namun, secara komputasi, metode ini membutuhkan perhitungan $n^2$ buah kofaktor (masing-masing memerlukan determinan ordo $n{-}1$), menghasilkan kompleksitas $O(n!)$ yang sama sekali tidak kompetitif dibandingkan algoritma Gauss-Jordan $O(n^3)$ dari Bab 4.

5.8 Aturan Cramer (Cramer's Rule)

Teorema 5.7 — Aturan Cramer untuk SPL Persegi

Diberikan sistem persamaan linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ berordo $n \times n$. Jika $\det(A) \neq 0$, nilai dari setiap komponen variabel ke-$i$ ($x_i$) dapat dihitung secara independen melalui rasio:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \qquad i = 1, 2, \ldots, n \]

Apa itu $A_1, A_2, \ldots, A_n$?

Jika kita menulis matriks koefisien $A$ sebagai himpunan kolom-kolomnya, $A = \big[\,\mathbf{a}_1 \;\; \mathbf{a}_2 \;\; \cdots \;\; \mathbf{a}_n\,\big]$, maka $A_i$ adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-$i$ dari $A$ oleh vektor konstanta $\mathbf{b}$, sambil membiarkan seluruh kolom lainnya tetap:

\[ A_i = \big[\,\mathbf{a}_1 \;\; \cdots \;\; \underbrace{\mathbf{b}}_{\text{kolom ke-}i} \;\; \cdots \;\; \mathbf{a}_n\,\big] \]

Dengan kata lain: $A_1$ mengganti kolom 1, $A_2$ mengganti kolom 2, dan seterusnya — setiap variabel $x_i$ memiliki "matriks khususnya sendiri" di mana hanya kolom ke-$i$ yang berbeda dari $A$.

Mari kita ilustrasikan untuk SPL $2 \times 2$ berikut:

\[ \begin{aligned} x_1 + 2x_2 &= 5 \\ 3x_1 + 4x_2 &= 11 \end{aligned} \qquad \Longrightarrow \qquad A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ 11 \end{bmatrix} \]

$A_1$: ganti kolom 1 oleh vektor $\mathbf{b}$ — kolom 2 tetap

→

$\det(A_1) = 5(4) - 2(11) = -2$

$A_2$: ganti kolom 2 oleh vektor $\mathbf{b}$ — kolom 1 tetap

→

$\det(A_2) = 1(11) - 5(3) = -4$

Dari vektor $\mathbf{b}$ (diganti) Tetap dari $A$ (tidak berubah)

Dengan $\det(A) = 1(4) - 2(3) = -2$, kedua variabel dihitung secara independen:

\[ x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} = \frac{-2}{-2} = 1, \qquad x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} = \frac{-4}{-2} = 2 \]

Solusi unik: $\mathbf{(x_1, x_2) = (1, 2)}$.

Mengapa Aturan Cramer Berlaku

Dari $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, kalikan kedua ruas dengan $\mathrm{adj}(A)$ dari kiri:

\[ \mathrm{adj}(A)\,A\,\mathbf{x} = \mathrm{adj}(A)\,\mathbf{b} \quad \Longrightarrow \quad \det(A) \cdot I_n \cdot \mathbf{x} = \mathrm{adj}(A)\,\mathbf{b} \]

Ruas kiri menyederhanakan menjadi $\det(A) \cdot \mathbf{x}$, sehingga komponen ke-$i$ memberikan $\det(A) \cdot x_i$. Untuk ruas kanan, komponen ke-$i$ dari $\mathrm{adj}(A)\,\mathbf{b}$ adalah:

\[ \big[\mathrm{adj}(A)\,\mathbf{b}\big]_i = \sum_{k=1}^{n} C_{ki}\, b_k = \det(A_i) \]

di mana langkah terakhir menggunakan fakta bahwa jumlah di atas merupakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-$i$ dari matriks $A_i$ (karena kolom ke-$i$ dari $A_i$ berisi $b_1, b_2, \ldots, b_n$, sementara kolom-kolom lainnya sama dengan $A$). Maka:

\[ \det(A) \cdot x_i = \det(A_i) \quad \Longrightarrow \quad x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad \square \]

Batasan Komputasi Aturan Cramer

Meskipun Aturan Cramer memberikan rumus eksplisit yang elegan untuk setiap variabel, metode ini memerlukan perhitungan $n+1$ buah determinan ordo $n \times n$. Dengan kompleksitas $O(n!)$ per determinan, total biaya komputasi Cramer mencapai $O(n \cdot n!)$ — jauh lebih lambat dibandingkan dekomposisi LU ($O(n^3)$) yang telah kita analisis pada Bab 4, Bagian 4.6. Aturan Cramer berguna untuk sistem kecil ($n \leq 3$) dan untuk analisis teoretis, tetapi tidak pernah digunakan dalam perangkat lunak numerik profesional untuk menyelesaikan SPL berdimensi besar.

5.9 Perluasan Teorema Invertibel Matriks

Seperti yang dijanjikan pada peringatan di akhir Bab 4, keberadaan konsep determinan kini memungkinkan kita menambahkan satu pernyataan ekuivalen baru ke dalam rantai Teorema Invertibel Matriks.

Teorema 5.8 — Penambahan Pernyataan Determinan pada IMT

Misalkan $A$ adalah matriks persegi berukuran $n \times n$. Maka seluruh pernyataan pada Teorema 4.6 (Bab 4) ekuivalen dengan pernyataan tambahan berikut:

$\det(A) \neq 0$ (determinan matriks $A$ bernilai bukan nol).

Bukti Siklus: (1) $\Leftrightarrow$ (8)

Kita buktikan kedua arah implikasi:

(1) ⇒ (8): Jika $A$ invertibel, maka $A^{-1}$ eksis sehingga $\det(A) \cdot \det(A^{-1}) = \det(I_n) = 1$. Karena hasil kali bernilai 1, maka $\det(A) \neq 0$. ∎

(8) ⇒ (1): Asumsikan $\det(A) \neq 0$. Maka rumus invers analitis $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ — yang kevaliditasannya bergantung pada sifat perkalian silang kofaktor (Bagian 5.5) untuk menjamin hasilnya berbentuk matriks diagonal — menghasilkan matriks yang terdefinisi dengan baik, membuktikan bahwa $A$ memiliki invers. ∎

Dengan terbuktinya ekuivalensi ini, kita kini memiliki delapan pernyataan setara dalam IMT versi Bab 5. Daftar ini akan terus bertambah pada bab-bab berikutnya.

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 5 memperkenalkan determinan sebagai instrumen skalar tunggal yang mampu mengonsolidasikan seluruh kompleksitas struktur matriks menjadi satu bilangan real. Tiga pencapaian utama bab ini saling terhubung erat dan masing-masing menempati posisi logis yang tepat dalam rantai penurunan:

(i) Definisi Leibniz (Bagian 5.1) memberikan fondasi first-principles: determinan adalah jumlah bertanda dari seluruh produk permutasi entri. Proses mekanis "pilih satu entri, tutup baris dan kolomnya, ambil sisa" memastikan setiap suku memuat tepat satu entri dari setiap baris dan kolom. Dua aksioma fundamental kemudian secara unik menentukan tanda setiap suku — menghasilkan rumus $ad - bc$ untuk kasus $2 \times 2$ (Bagian 5.2) dan memperkenalkan pola papan catur $(-1)^{i+j}$.

(ii) Sifat-sifat aljabar (Bagian 5.3) diturunkan langsung dari struktur Leibniz tanpa memerlukan rumus kofaktor — mengeliminasi potensi sirkularitas logis. Hubungan dengan matriks elementer Bab 4 kemudian memberikan jalan bagi algoritma eliminasi Gauss yang efisien (Bagian 5.6).

(iii) Proses "pilih dan tutup" yang dianalisis secara visual untuk kasus $3 \times 3$ (Bagian 5.4) mengungkapkan bahwa ekspansi kofaktor Laplace (Bagian 5.5) bukanlah rumus ajaib yang muncul dari kekosongan — melainkan konsekuensi struktural yang tak terelakkan dari definisi Leibniz dan dua aksioma fundamental. Sifat perkalian silang kofaktor kemudian menutup rantai logis menuju rumus invers adjoint (Bagian 5.7), dan ekspansi kofaktor kolom menjelaskan mengapa Aturan Cramer (Bagian 5.8) menghasilkan $\det(A_i)$ — menunjukkan bahwa seluruh teori determinan, dari Leibniz hingga Cramer, bersandar pada dua aksioma yang sama.

Dari perspektif komputasi, bab ini menegaskan sebuah prinsip yang konsisten dengan Bab 4: metode yang elegan secara teoretis (kofaktor, adjoint, Cramer) hampir selalu kalah efisien dibandingkan metode yang memanfaatkan struktur OBE (eliminasi Gauss, dekomposisi LU). Prinsip "elegansi teoretis ≠ efisiensi komputasi" ini akan terus menjadi tema berulang sepanjang buku ini.

Latihan Evaluasi Akhir Bab 5

Untuk matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 4 & 5 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}$, tuliskan seluruh $3! = 6$ suku Leibniz secara eksplisit (produk entri beserta tanda $\varepsilon$-nya), lalu verifikasi bahwa jumlahnya sama dengan hasil ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga.
Hitunglah nilai skalar determinan dari matriks berdimensi $4 \times 4$ berikut via eliminasi Gauss:
\[ B = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 2 & 9 \end{bmatrix} \]
Asumsikan matriks persegi $A$ berordo $3 \times 3$ memiliki nilai skalar $\det(A) = -4$. Tentukan nilai dari komponen determinan berikut: (a) $\det(A^T)$, (b) $\det(A^{-1})$, (c) $\det(3A)$, (d) $\det(A^2)$.
Dapatkan struktur matriks invers analitis $A^{-1}$ memanfaatkan formulasi Teorema 5.6 jika diketahui: $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. Bandingkan hasilnya dengan invers yang Anda peroleh melalui metode Gauss-Jordan pada Contoh 4.4 (Bab 4) dan verifikasi bahwa keduanya menghasilkan matriks yang identik.
Selesaikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut memanfaatkan Aturan Cramer. Tuliskan secara eksplisit matriks $A$, $A_1$, $A_2$, dan $A_3$ — tunjukkan kolom mana yang diganti pada setiap matriks:
\[ \begin{aligned} x_1 \quad\;\; + 2x_3 &= 6 \\ -3x_1 + 4x_2 + 6x_3 &= 30 \\ -x_1 - 2x_2 + 3x_3 &= 8 \end{aligned} \]
Berdasarkan rantai Teorema Invertibel Matriks Bab 4 yang kini telah diperluas dengan Pernyataan (8) pada Bab 5, jabarkan korelasi logis mengapa sebuah matriks singular ($A$ yang tidak memiliki invers) dijamin pasti memuat nilai determinan tepat nol. Hubungkan argumen Anda dengan keberadaan baris nol pada bentuk eselonnya.
Soal Pemikiran Koneksi Bab 4: Pada Latihan Bab 4 soal nomor 10, disebutkan bahwa matriks elementer Jenis III memiliki determinan $1$, Jenis I memiliki determinan $-1$, dan Jenis II memiliki determinan $k$. Berikan penalaran geometris mengapa nilai-nilai ini konsisten dengan "efek perubahan operasi baris terhadap volume paralelopipedum" — dengan merujuk pada bukti Teorema 5.2 yang diturunkan langsung dari definisi Leibniz.
Soal Pemikiran Efisiensi Algoritma: Untuk matriks berordo $n = 20$, bandingkan estimasi jumlah operasi antara: (a) menghitung satu determinan via ekspansi kofaktor penuh, dan (b) menghitung determinan via reduksi Gauss. Hubungkan perbandingan ini dengan analisis kompleksitas Big-O pada Tabel Bagian 4.6 (Bab 4) untuk menjelaskan mengapa Aturan Cramer tidak layak secara komputasi pada dimensi tinggi.
Soal Pemikiran Struktural: Pada Bagian 5.4, tanda luar $s_{12}$ ditentukan dengan menggunakan Aksioma Baris/Kolom Berulang pada matriks dengan kolom 1 = kolom 2. Ulangi penentuan $s_{12}$ menggunakan matriks dengan baris 1 = baris 2 (bukan kolom). Apakah Anda memperoleh hasil yang sama? Jelaskan mengapa hal ini menjamin bahwa pola tanda bersifat konsisten terhadap transpose.
Soal Verifikasi Perkalian Silang: Untuk matriks $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$, hitunglah: (a) $\sum_{k=1}^{3} a_{1k}\,C_{2k}$ dan (b) $\sum_{k=1}^{3} a_{2k}\,C_{1k}$. Verifikasi bahwa keduanya bernilai nol, dan tunjukkan secara eksplisit matriks $B$ dengan baris berulang yang determinannya sesuai dengan masing-masing jumlah tersebut.

Bab sebelumnya

Invers & Faktorisasi LU

Bab berikutnya

Vektor di $\mathbb{R}^n$