Transformasi Linear
Bab 6 sampai Bab 8 telah membahas struktur statis dari ruang vektor, termasuk basis, dimensi, dan subruang fundamental. Bab ini akan membahas aspek dinamis dari aljabar linear: bagaimana elemen-elemen di dalam suatu ruang vektor dapat dipetakan atau ditransformasikan ke ruang vektor lainnya tanpa merusak sifat struktural aljabar asli mereka. Konsep pemetaan yang mempertahankan operasi ini disebut sebagai transformasi linear, sebuah pilar utama yang menghubungkan geometri ruang dengan operasi matriks fungsional.
9.1 Definisi Transformasi Linear
Secara umum, sebuah fungsi atau pemetaan mengambil elemen dari domain dan mencocokkannya dengan elemen di dalam kodomain. Namun, dalam aljabar linear, kita tidak tertarik pada sebarang fungsi acak. Kita secara eksklusif mempelajari fungsi-fungsi khusus yang menghormati operasi internal dari ruang vektor, yaitu penjumlahan vektor dan perkalian skalar.
Misalkan $V$ dan $W$ adalah dua buah ruang vektor riil. Sebuah pemetaan atau fungsi $T$ yang memetakan elemen dari ruang vektor $V$ menuju ruang vektor $W$, dinotasikan sebagai $T\colon V \to W$, dinyatakan secara formal bertindak sebagai transformasi linear jika fungsi tersebut memenuhi dua buah aksioma fundamental berikut untuk setiap elemen vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ dan untuk setiap konstanta skalar $c \in \mathbb{R}$:
- Sifat Aditif (Penjumlahan): $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$
- Sifat Homogen (Perkalian Skalar): $T(c\mathbf{u}) = c\,T(\mathbf{u})$
Kedua aksioma di atas sering kali digabungkan ke dalam satu buah kriteria tunggal ekuivalen yang disebut sebagai prinsip superposisi linear, di mana pemetaan $T$ wajib memenuhi hubungan aljabar:
untuk setiap vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ dan untuk setiap konstanta skalar $c, d \in \mathbb{R}$. Sifat ini memberikan jaminan bahwa proses transformasi dari sebuah kombinasi linear dari beberapa vektor akan menghasilkan nilai yang identik dengan kombinasi linear dari masing-masing vektor yang ditransformasikan secara terpisah.
Jika fungsi $T\colon V \to W$ merupakan sebuah transformasi linear yang valid, maka sifat-sifat matematis berikut dijamin pasti terpenuhi secara otomatis:
- Pemetaan Vektor Nol: $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$ (Vektor nol pada ruang asal harus dipetakan tepat menuju vektor nol pada ruang tujuan).
- Pembalikan Tanda Vektor: $T(-\mathbf{v}) = -T(\mathbf{v})$ untuk setiap vektor $\mathbf{v} \in V$.
- Perluasan Kombinasi Linear: $T(c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k) = c_1T(\mathbf{v}_1) + c_2T(\mathbf{v}_2) + \cdots + c_kT(\mathbf{v}_k)$ untuk sebarang konstanta skalar $c_i$ dan vektor $\mathbf{v}_i$.
Untuk membuktikan properti nomor 1, kita dapat memanfaatkan sifat homogenitas skalar dengan menetapkan nilai skalar konstanta $c = 0$ pada elemen vektor sebarang $\mathbf{v} \in V$:
Sebagai alternatif pembuktian menggunakan sifat aditif, perhatikan manipulasi aljabar berikut:
Jika kita menambahkan invers penjumlahan dari $-T(\mathbf{0}_V)$ pada kedua ruas persamaan di atas, kita mendapatkan kesimpulan akhir yang sahih bahwa $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$. ∎
Properti pemetaan vektor nol ($T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$) bertindak sebagai instrumen pengujian awal yang sangat perkasa. Jika Anda mengevaluasi sebuah fungsi pemetaan dan menemukan fakta bahwa fungsi tersebut gagal memetakan vektor nol menuju vektor nol, maka fungsi tersebut dapat langsung dipastikan bukan merupakan transformasi linear, tanpa perlu membuang waktu menguji aksioma aditif maupun homogenitas skalar.
9.2 Contoh Geometris & Aljabar
Untuk membangun intuisi yang kuat, kita harus melihat bagaimana aksioma transformasi linear diwujudkan dalam operasi aljabar murni dan transformasi geometris pada ruang dua dimensi. Kita akan membedah proses pembuktian formal untuk membedakan antara fungsi yang memenuhi sifat linearitas dan fungsi yang gagal memenuhinya.
Misalkan sebuah fungsi pemetaan didefinisikan sebagai $T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ dengan aturan formula operasi matematika berikut:
Buktikan secara formal bahwa pemetaan $T$ merupakan sebuah transformasi linear.
Penyelesaian:
Kita harus menguji validitas kedua aksioma dari Definisi 9.1 dengan mengambil dua buah vektor sebarang $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix}$ di dalam ruang domain $\mathbb{R}^3$, serta sebuah konstanta skalar sebarang $c \in \mathbb{R}$.
1. Pengujian Sifat Aditif:
2. Pengujian Sifat Homogen:
Karena kedua aksioma terpenuhi, $T$ adalah transformasi linear. ∎
Misalkan $F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ didefinisikan oleh:
Tunjukkan bahwa $F$ bukan transformasi linear.
Penyelesaian: Kita tidak perlu menguji kedua aksioma secara penuh. Cukup evaluasi pemetaan vektor nol:
Karena $F(\mathbf{0}) \neq \mathbf{0}$, maka oleh Teorema 9.1 Poin (1), fungsi $F$ bukan transformasi linear. Secara intuitif, rumus $x_1 + 1$ menambahkan konstanta pergeseran (translation), dan pergeseran bukanlah operasi linear — ia mengubah titik asal. ∎
Misalkan $F\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ didefinisikan oleh:
Tunjukkan bahwa $F$ bukan transformasi linear.
Penyelesaian: Langkah pertama, uji vektor nol: $F(\mathbf{0}) = \begin{bmatrix} 0^2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ (\checkmark) — uji ini lolos, sehingga kita tidak bisa menyimpulkan apa-apa dan harus menguji aksioma secara langsung.
Uji sifat homogen dengan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ dan $c = 2$:
Karena $\begin{bmatrix} 36 \\ 2 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 18 \\ 2 \end{bmatrix}$, sifat homogen gagal. Maka $F$ bukan transformasi linear. ∎
Contoh 9.2b menunjukkan bahwa lolosnya uji vektor nol tidak menjamin linearitas. Syarat $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ bersifat perlu (harus terpenuhi), tetapi tidak cukup (tidak menjamin kedua aksioma terpenuhi). Jika uji ini gagal, Anda bisa langsung menolak; jika lolos, Anda masih harus menguji aditivitas dan/atau homogenitas.
Buktikan bahwa rotasi berlawanan arah jarum jam sejauh $\theta = 90°$ di $\mathbb{R}^2$ adalah transformasi linear, lalu terapkan pada vektor $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$.
Penyelesaian: Rotasi $\theta = 90°$ memetakan $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}$. Definisikan $T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -y \\ x \end{bmatrix}$.
Uji cepat vektor nol: $T\!\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ (\checkmark).
Uji superposisi: Untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$, dan skalar $c, d$:
Aplikasi numerik: Matriks standar rotasi $90°$ adalah $[T] = \begin{bmatrix} \cos 90° & -\sin 90° \\ \sin 90° & \cos 90° \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
Verifikasi geometris: titik $(1, 2)$ di kuadran I, setelah rotasi $90°$ CCW, jatuh di kuadran II pada posisi $(-2, 1)$ — konsisten dengan intuisi visual (\checkmark). ∎
| Jenis Operasi | Deskripsi Transformasi | Matriks Standar $[T]$ |
|---|---|---|
| Rotasi | Memutar berlawanan jarum jam sejauh sudut $\theta$. | $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ |
| Refleksi thd. sumbu-$x$ | Mencerminkan posisi titik terhadap sumbu-$x$. | $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ |
| Refleksi thd. sumbu-$y$ | Mencerminkan posisi titik terhadap sumbu-$y$. | $\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ |
| Penskalaan | Meregangkan/menyusutkan dengan faktor $k_x$ dan $k_y$. | $\begin{bmatrix} k_x & 0 \\ 0 & k_y \end{bmatrix}$ |
| Guntingan (Shear) | Menggeser komponen-$x$ sebanding dengan nilai $y$. | $\begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ |
9.3 Inti (Kernel) dan Jangkauan (Range)
Sama seperti matriks persegi yang memiliki subruang fundamental seperti ruang kosong (nullspace) dan ruang kolom (column space), sebuah transformasi linear juga memiliki subruang internal yang serupa. Subruang ini membantu kita menganalisis struktur pemetaan secara mendalam dan mengidentifikasi apakah ada informasi vektor yang runtuh atau hilang selama proses transformasi.
9.3.1 Definisi Formal Kernel dan Range
Misalkan $T\colon V \to W$ adalah sebuah transformasi linear. Inti atau Kernel dari $T$, dinotasikan $\ker(T)$, merupakan himpunan seluruh vektor di $V$ yang dipetakan menuju vektor nol pada $W$:
Jangkauan atau Range dari $T$, dinotasikan $\text{R}(T)$ atau $\text{Im}(T)$, merupakan himpunan seluruh vektor di $W$ yang merupakan bayangan dari minimal satu vektor di $V$:
Jika $T\colon V \to W$ bertindak sebagai transformasi linear, maka:
- $\ker(T)$ merupakan subruang dari $V$.
- $\text{R}(T)$ merupakan subruang dari $W$.
9.3.2 Hubungan Dimensi: Teorema Rank-Nullity untuk Pemetaan
- $\text{nullity}(T) = \dim(\ker(T))$
- $\text{rank}(T) = \dim(\text{R}(T))$
Misalkan $T\colon V \to W$ dengan $\dim(V) = n$. Maka:
Tinjau kembali $T$ dari Contoh 9.1: $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$. Tentukan basis dan dimensi untuk $\ker(T)$ dan $\text{R}(T)$, lalu verifikasi Teorema Rank-Nullity.
1. Kernel: Selesaikan $T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$:
2. Range via Rank-Nullity:
Karena $\text{rank}(T) = 2 = \dim(\mathbb{R}^2)$, jangkauan mengisi seluruh ruang tujuan: $\text{R}(T) = \mathbb{R}^2$, dengan basis standar $\left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}$.
Verifikasi: $2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$ (\checkmark). ∎
Operator proyeksi orthogonal pada bidang-$xy$ didefinisikan oleh $T\!\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}$. Analisislah $\ker(T)$ dan $\text{R}(T)$ melalui matriks standarnya.
Langkah 1 — Matriks standar: Evaluasi $T(\mathbf{e}_i)$:
Langkah 2 — Kernel melalui $\text{Nul}([T])$:
Matriks $[T]$ sudah dalam REF. Pivot pada kolom 1 dan 2; kolom 3 bebas. Selesaikan $[T]\mathbf{x} = \mathbf{0}$:
Interpretasi geometris: Kernel berupa sumbu-$z$ — tepatnya seluruh vektor yang "menghilang" saat diproyeksikan ke bidang-$xy$.
Langkah 3 — Range melalui $\text{Col}([T])$:
Kolom pivot dari $[T]$ (kolom 1 dan 2) membentuk basis:
Verifikasi Rank-Nullity: $2 + 1 = 3 = \dim(\mathbb{R}^3)$ (\checkmark). ∎
Koneksi ke Bab 8: Perhatikan bahwa $\ker(T) = \text{Nul}([T])$ dan $\text{R}(T) = \text{Col}([T])$ — subruang fundamental transformasi linear persis sama dengan subruang fundamental matriks standarnya. Ini bukan kebetulan: Teorema 9.4 (berikutnya) menegaskan bahwa setiap transformasi linear pada ruang berdimensi hingga identik dengan perkalian matriks standar.
9.4 Matriks Transformasi Standar
Salah satu hasil paling revolusioner dalam aljabar linear adalah fakta bahwa setiap transformasi linear dari ruang vektor berdimensi terhingga selalu dapat dinyatakan secara ekuivalen sebagai operasi perkalian matriks murni. Hal ini berarti kita dapat mengubah evaluasi fungsi abstrak menjadi operasi mekanis baris-kali-kolom yang sangat disukai oleh prosesor komputer.
Misalkan $T\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ adalah transformasi linear. Jika $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}$ adalah basis standar $\mathbb{R}^n$, maka terdapat matriks unik berukuran $m \times n$, dinotasikan $[T]$, sedemikian sehingga:
Matriks $[T]$ dikonstruksi dengan menyusun bayangan basis standar sebagai kolom-kolom:
Tentukan matriks standar $[T]$ untuk $T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix}$.
Penyelesaian: Evaluasi bayangan masing-masing basis standar:
- $T(\mathbf{e}_1) = T\!\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
- $T(\mathbf{e}_2) = T\!\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
- $T(\mathbf{e}_3) = T\!\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}$
Verifikasi: $[T]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 \\ x_2 - x_3 \end{bmatrix} = T(\mathbf{x})$ (\checkmark). ∎
Diketahui $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ adalah transformasi linear dengan bayangan basis standar:
Susun matriks standar $[T]$, lalu hitung $T(\mathbf{v})$ untuk $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 3 \end{bmatrix}$.
Penyelesaian: Langsung susun bayangan sebagai kolom (Teorema 9.4):
Hitung bayangan $\mathbf{v}$ melalui perkalian matriks:
Verifikasi via superposisi (Teorema 9.1 Poin 3):
Kedua metode menghasilkan jawaban identik — membuktikan bahwa perkalian matriks standar secara mekanis menangkap seluruh informasi tentang transformasi linear. ∎
Konstruksikan matriks standar untuk $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^4$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_2 \\ -x_1 \\ x_1 + 3x_2 \end{bmatrix}$.
Penyelesaian: Evaluasi kedua basis standar $\mathbb{R}^2$:
Perhatikan bahwa matriks standar berukuran $4 \times 2$ (bukan persegi) — bentuk ini menegaskan bahwa transformasi linear tidak memerlukan matriks persegi, dan konsep rank/nullity dari Bab 8 tetap berlaku penuh. ∎
9.5 Proses Perubahan Basis
Konstruksi matriks transformasi pada Bagian 9.4 mengasumsikan kita menggunakan basis standar. Namun, dalam banyak aplikasi tingkat lanjut seperti kompresi data atau mekanika kuantum, kita sering kali diwajibkan untuk merepresentasikan transformasi linear menggunakan basis non-standar yang disesuaikan dengan geometri masalah.
Misalkan $T\colon V \to V$ adalah operator linear dan $B = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\}$ adalah basis untuk $V$. Matriks transformasi $T$ relatif terhadap $B$, dinotasikan $[T]_B$, dikonstruksi dengan:
Misalkan $[T]$ adalah matriks standar dari $T\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ dan $P$ adalah matriks transisi invertibel yang kolom-kolomnya merupakan vektor basis $B$. Maka:
Operator linear $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ memiliki matriks standar $[T] = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$. Hitunglah $[T]_B$ relatif terhadap basis $B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}$.
Langkah 1 — Matriks transisi $P$ dan inversnya:
Langkah 2 — Perkalian berantai $P^{-1}[T]P$:
Kesimpulan: $[T]_B = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$. Matriks ini berbentuk segitiga atas — jauh lebih sederhana dari $[T]$ yang penuh entri non-nol. ∎
Dari Contoh 9.5, kita memiliki dua matriks yang merepresentasikan operator yang sama:
Verifikasi bahwa kedua matriks serupa memang memiliki determinan dan trace yang identik.
Determinan:
Trace (jumlah diagonal utama):
Invertibilitas: Karena $\det = -4 \neq 0$ untuk keduanya, keduanya invertibel — konsisten dengan Teorema 9.6 Poin (2) (\checkmark).
Mengapa ini penting? Jika Anda hanya mengetahui $[T]_B = \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ dari suatu eksperimen, Anda dapat langsung menyimpulkan bahwa operator aslinya (dalam basis standar mana pun) memiliki $\det = -4$ dan $\text{tr} = 3$ — tanpa perlu mengetahui matriks standarnya. Invarian keserupan bersifat basis-agnostik. ∎
9.6 Sifat Keserupaan (Similarity)
Formulasi konversi matriks $[T]_B = P^{-1}[T]P$ pada Bagian 9.5 memperkenalkan sebuah hubungan geometri-aljabar yang sangat mendasar dalam klasifikasi matriks persegi. Hubungan struktural ini dikenal secara formal sebagai sifat keserupaan atau similarity.
Dua matriks persegi $A$ dan $B$ berukuran $n \times n$ dinyatakan serupa (similar) jika terdapat matriks invertibel $P$ sedemikian sehingga:
Prosedur ini disebut transformasi keserupaan (similarity transformation).
Sifat keserupaan bukan sekadar manipulasi simbol aljabar biasa. Jika dua matriks terbukti serupa, berarti keduanya merepresentasikan operator linear yang sama persis, hanya saja diukur dari sudut pandang basis yang berbeda. Oleh karena itu, kedua matriks serupa dijamin berbagi karakteristik numerik fundamental yang sama.
Jika $A$ dan $B$ serupa ($B = P^{-1}AP$), maka keduanya memiliki properti yang identik (invarian):
- Determinan: $\det(A) = \det(B)$
- Invertibilitas: $A$ invertibel $\iff$ $B$ invertibel
- Trace: $\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$
- Polinomial Karakteristik: Persis sama
- Nilai Eigen: Himpunan nilai eigen identik
Memanfaatkan sifat perkalian determinan ($\det(XY) = \det(X)\det(Y)$) dan fakta $\det(P^{-1}) = 1/\det(P)$:
Efek matriks transisi $P$ dibatalkan sempurna oleh inversnya, menyisakan karakteristik volume asli dari $A$. ∎
Diberikan $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ dan $P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Hitunglah $B = P^{-1}AP$, lalu verifikasi bahwa $\det(B) = \det(A)$ dan $\text{tr}(B) = \text{tr}(A)$.
Langkah 1 — Invers $P$:
Langkah 2 — Hitung $B$:
Langkah 3 — Verifikasi invarian:
Meskipun $A$ dan $B$ terlihat sangat berbeda secara visual, keduanya memiliki "sidik jari" aljabar yang identik — konsekuensi langsung dari keserupaan. ∎
Bab 9 berhasil mengubah cara pandang kita terhadap matriks persegi. Matriks tidak lagi dipandang sebagai sekumpulan angka pasif di dalam kurung siku, melainkan sebagai sebuah operator dinamis yang aktif memindahkan, memutar, atau merentangkan elemen vektor di dalam ruang.
Dengan mengaitkan konsep fungsi transformasi ke matriks standar, kita menyatukan geometri visual dengan komputasi numerik. Penemuan subruang Kernel dan Range menegaskan bahwa sifat-sifat dasar matriks seperti Nullspace dan Column Space sejatinya merupakan manifestasi internal dari perilaku pemetaan. Akhirnya, pemahaman mengenai perubahan basis dan sifat keserupaan (similarity) membentangkan karpet merah menuju Bab 10 (Nilai Eigen & Diagonalisasi). Pada bab berikutnya, kita akan menggunakan teknik transformasi keserupaan ini untuk mencari sebuah basis istimewa yang dapat mengubah matriks acak rumit menjadi matriks diagonal murni — sebuah proses optimasi komputasi tertinggi dalam aljabar linear terapan.
- Ujilah masing-masing fungsi pemetaan di bawah ini untuk menentukan apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linear:
- (a) $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ 2x_1 \\ x_2 - 4 \end{bmatrix}$ (Petunjuk: gunakan uji vektor nol terlebih dahulu.)
- (b) $T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 - x_3 \\ x_2 + 3x_3 \end{bmatrix}$
- (c) $T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 x_2 \\ x_1 + x_2 \end{bmatrix}$
- Diketahui $T\!\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $T\!\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Hitunglah $T\!\left(\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}\right)$ memanfaatkan prinsip kombinasi linear, lalu verifikasi hasilnya melalui perkalian matriks standar.
- Konstruksikan matriks standar $[T]$ untuk:
- (a) $T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 - 3x_2 + x_3 \\ 2x_1 + x_3 \end{bmatrix}$
- (b) $T\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ dengan $T\!\left(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 \\ x_2 - x_3 \\ 2x_1 + x_3 \end{bmatrix}$
- Operator proyeksi orthogonal ke garis $y = x$ dalam $\mathbb{R}^2$ didefinisikan oleh $T\!\left(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\right) = \dfrac{x + y}{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
- (a) Buktikan bahwa $T$ adalah transformasi linear.
- (b) Tentukan matriks standar $[T]$.
- (c) Tentukan basis dan dimensi $\ker(T)$ dan $\text{R}(T)$.
- (d) Verifikasi Teorema Rank-Nullity.
- Diberikan $[T] = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}$. Hitunglah $[T]_B$ menggunakan formulasi Teorema 9.5.
- Soal Pemikiran: Buktikan bahwa jika $A$ dan $B$ serupa ($B = P^{-1}AP$), maka $\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$. Petunjuk: manfaatkan sifat siklis trace $\text{tr}(XYZ) = \text{tr}(ZXY)$ dari Bagian 3.6.
- Soal Rotasi Berantai: Vektor $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ dirotasi $90°$ CCW, lalu hasilnya direfleksikan terhadap sumbu-$x$. Tentukan matriks gabungan dan hitung posisi akhir $\mathbf{v}$. Petunjuk: matriks gabungan adalah perkalian matriks refleksi dikali matriks rotasi.