Bab 11

Ruang Hasil Dalam

Bab 6 memperkenalkan konsep dasar vektor di dalam ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$ menggunakan operasi mekanis hasil kali titik (dot product). Namun, aplikasi rekayasa modern sering kali menuntut analisis geometri pada objek abstrak yang bukan merupakan panah spasial, seperti deret fungsi gelombang kontinu atau suku polinomial kuadrat. Bab ini membuka gerbang Semester 2 dengan memperluas konsep perkalian titik konvensional menjadi sebuah fungsi operasional umum yang disebut hasil dalam (inner product). Dengan menetapkan empat aksioma abstrak fundamental, kita dapat mendefinisikan ulang makna panjang, jarak, sudut, dan ketegaklurusan pada objek kalkulus murni secara konsisten.

Koneksi Materi — Revisit Geometri Bab 6

Jika pada Bab 6 Anda mempelajari norma, jarak, dan sudut secara visual menggunakan elemen angka kaku di $\mathbb{R}^n$, bab ini bertindak sebagai bentuk generalisasi murni dari konsep tersebut. Kita tidak lagi mengandalkan visualisasi panah koordinat. Melalui empat aksioma hasil dalam yang abstrak, kita akan membuktikan bahwa hukum geometri Euclidean konvensional tetap bekerja secara presisi pada objek-objek non-spasial seperti ruang fungsi kontinu $C[a,b]$.

11.1 Definisi Aksiomatik Ruang Hasil Dalam

Untuk melepaskan ketergantungan visual dari ruang geometri Euclidean, kita harus mendefinisikan operasi perkalian antar-vektor menggunakan pendekatan aksiomatik. Kita tidak lagi melihat vektor berdasarkan komponen koordinat baris-kali-kolom murni, melainkan berdasarkan sifat-sifat aljabar internal yang dihasilkan oleh fungsi pemetaan tersebut.

Definisi 11.1 — Hasil Dalam dan Ruang Hasil Dalam

Misalkan $V$ bertindak sebagai sebuah ruang vektor riil sebarang. Sebuah fungsi pemetaan yang mengaitkan setiap pasangan elemen vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam ruang $V$ dengan sebuah bilangan real, dinotasikan dengan simbol khusus $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$, dinyatakan secara sah sebagai hasil dalam (inner product) jika fungsi tersebut memenuhi empat aksioma fundamental berikut untuk setiap elemen vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ dan untuk sebarang konstanta skalar $k \in \mathbb{R}$:

Sifat Simetri: $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle$
Sifat Aditif (Penambahan): $\langle\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$
Sifat Homogen (Homogenitas Skalar): $\langle k\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$
Sifat Positif Definit: $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0$, dan nilai $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0$ jika dan hanya jika elemen vektor tersebut bernilai nol ($\mathbf{v} = \mathbf{0}$).

Sebuah ruang vektor yang dilengkapi dengan sebuah fungsi hasil dalam yang valid disebut secara formal sebagai ruang hasil dalam (inner product space).

Sebagai konsekuensi langsung dari penerapan sifat simetri bersama dengan kriteria aditif dan homogenitas sisi kiri, kita dapat menurunkan sifat distributif dan homogenitas untuk posisi koordinat kanan secara otomatis tanpa perlu menambah aksioma baru:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle \qquad\text{dan}\qquad \langle\mathbf{u}, k\mathbf{v}\rangle = k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \]

Teorema 11.1 — Properti Konsekuensi Dasar Hasil Dalam

Jika fungsi $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$ memenuhi seluruh kriteria ruang hasil dalam, maka sifat-sifat matematis berikut dijamin pasti terpenuhi secara absolut:

Perkalian Vektor Nol: $\langle\mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle = \langle\mathbf{v}, \mathbf{0}\rangle = 0$ (Perkalian antara vektor nol dengan vektor apa pun menghasilkan nilai skalar nol).
Distributif Pengurangan: $\langle\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle - \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle$

Bukti Properti 1 — Perkalian Vektor Nol

Representasikan vektor nol sebagai kelipatan skalar $0 \cdot \mathbf{u}$ dari sebarang vektor $\mathbf{u} \in V$, kemudian keluarkan konstanta skalar tersebut memanfaatkan sifat homogenitas:

\[ \langle\mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle = \langle 0 \cdot \mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \cdot \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \]

Melalui penerapan sifat simetri, diperoleh $\langle\mathbf{v}, \mathbf{0}\rangle = \langle\mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle = 0$. ∎

Bukti Properti 2 — Distributif Pengurangan

Tulis ulang $\mathbf{u} - \mathbf{v}$ sebagai $\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v}$, lalu terapkan sifat aditif dan homogenitas secara berurutan:

\[ \langle\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + \langle(-1)\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + (-1)\langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle - \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \]

Pembuktian selesai. ∎

Contoh 11.1a — Verifikasi Lengkap Empat Aksioma Hasil Dalam Berbobot

Tunjukkan bahwa fungsi $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 2u_1 v_1 + 5u_2 v_2$ pada $\mathbb{R}^2$ memenuhi keempat aksioma ruang hasil dalam.

Penyelesaian: Misalkan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^2$ dan $k \in \mathbb{R}$.

Aksioma 1 — Simetri:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 2u_1 v_1 + 5u_2 v_2 = 2v_1 u_1 + 5v_2 u_2 = \langle\mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle \;\checkmark \]

Perkalian skalar bersifat komutatif ($u_i v_i = v_i u_i$), sehingga simetri terjamin.

Aksioma 2 — Aditif:

\[ \langle\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = 2(u_1+v_1)w_1 + 5(u_2+v_2)w_2 = (2u_1 w_1 + 5u_2 w_2) + (2v_1 w_1 + 5v_2 w_2) = \langle\mathbf{u}, \mathbf{w}\rangle + \langle\mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle \;\checkmark \]

Aksioma 3 — Homogenitas:

\[ \langle k\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 2(ku_1)v_1 + 5(ku_2)v_2 = k(2u_1 v_1 + 5u_2 v_2) = k\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \;\checkmark \]

Aksioma 4 — Positif Definit:

\[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 2v_1^2 + 5v_2^2 \]

Karena $v_1^2 \geq 0$ dan $v_2^2 \geq 0$ (kuadrat selalu non-negatif), dan bobot $2 > 0$, $5 > 0$, maka $2v_1^2 + 5v_2^2 \geq 0$. Selanjutnya, $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 \iff v_1^2 = 0$ dan $v_2^2 = 0 \iff v_1 = 0$ dan $v_2 = 0 \iff \mathbf{v} = \mathbf{0}$ \;\checkmark

Semua empat aksioma terpenuhi, sehingga $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 2u_1 v_1 + 5u_2 v_2$ adalah hasil dalam yang sah pada $\mathbb{R}^2$.

Contoh 11.1b — Contoh Bukan Hasil Dalam: Pelanggaran Positif Definit

Tunjukkan bahwa fungsi $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = u_1 v_1 - u_2 v_2$ pada $\mathbb{R}^2$ bukan merupakan hasil dalam yang valid.

Penyelesaian: Periksa keempat aksioma secara berurutan. Aksioma 1 (simetri), 2 (aditif), dan 3 (homogenitas) semuanya terpenuhi — verifikasinya identik dengan Contoh 11.1a karena struktur aljabarnya sama (jumlah suku perkalian komponen). Namun, pada Aksioma 4:

\[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = v_1^2 - v_2^2 \]

Pilih vektor non-nol $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$:

\[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 1^2 - 1^2 = 0 \]

Vektor $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ tetapi menghasilkan $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0$ — ini melanggar kondisi "jika dan hanya jika" pada Aksioma 4. Bahkan lebih buruk, untuk $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$:

\[ \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle = 0 - 1 = -1 < 0 \]

Nilai negatif secara langsung melanggar syarat $\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \geq 0$. Kesalahan fatal terletak pada bobot negatif ($-1$) pada komponen kedua. ∎

Pola Umum: Mengapa Bobot Harus Positif

Secara umum, fungsi berbentuk $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = w_1 u_1 v_1 + w_2 u_2 v_2 + \cdots + w_n u_n v_n$ merupakan hasil dalam yang sah jika dan hanya jika semua bobot $w_i > 0$. Jika salah satu bobot bernilai nol, Aksioma 4 gagal pada kondisi "jika dan hanya jika" (vektor dengan komponen non-nol hanya pada posisi bobot nol akan menghasilkan $\langle\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle = 0$). Jika salah satu bobot bernilai negatif, Aksioma 4 gagal karena nilai bisa menjadi negatif.

11.2 Realisasi Ruang Hasil Dalam Non-Standar

Kekuatan sejati dari pendekatan aksiomatik pada Definisi 11.1 adalah kebebasan kita untuk menciptakan definisi operasi perkalian baru yang disesuaikan dengan kebutuhan analisis data. Kita tidak lagi terbatas pada perkalian titik standar biasa. Sepanjang bagian ini, kita akan mempelajari tiga rumpun aplikasi ruang hasil dalam non-standar yang sangat populer dalam komputasi dan teknik modern.

11.2.1 Hasil Dalam Berbobot (Weighted Inner Product)

Dalam analisis statistik tingkat lanjut atau pemrosesan sinyal digital, beberapa koordinat entri sering kali memiliki tingkat kepentingan atau varians data yang berbeda. Untuk mengakomodasi hal tersebut, kita dapat menyisipkan konstanta pengali pengbobot positif ke dalam setiap suku perkalian komponen.

Definisi 11.2 — Hasil Dalam Berbobot di $\mathbb{R}^n$

Misalkan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}$ adalah dua buah vektor di dalam ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$. Jika kita menetapkan himpunan nilai bobot konstan yang bernilai positif murni ($w_1 > 0, w_2 > 0, \ldots, w_n > 0$), maka hasil dalam berbobot didefinisikan sebagai:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = w_1 u_1 v_1 + w_2 u_2 v_2 + \cdots + w_n u_n v_n \]

Representasi Matriks: Bentuk Kuadratik

Hasil dalam berbobot dapat ditulis ulang dalam notasi matriks sebagai $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^T W \mathbf{v}$, di mana $W = \text{diag}(w_1, w_2, \ldots, w_n)$ adalah matriks diagonal dengan entri diagonal positif. Lebih umum lagi, untuk sebarang matriks simetrik positif definit $A$ berukuran $n \times n$ (lihat kembali Bab 10), fungsi $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^T A \mathbf{v}$ merupakan hasil dalam yang sah. Latihan soal nomor 1 meminta Anda memverifikasi kasus ini secara langsung.

Contoh 11.1 — Perhitungan Hasil Dalam Berbobot

Misalkan ruang vektor $\mathbb{R}^2$ dilengkapi dengan fungsi hasil dalam berbobot $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3u_1 v_1 + 5u_2 v_2$. Hitunglah nilai hasil dalam dari pasangan vektor $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$.

Penyelesaian: Substitusikan entri-entri komponen vektor langsung ke dalam rumusan operasi berbobot:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3(2)(4) + 5(-1)(3) = 24 - 15 = 9 \]

Nilai skalar akhir yang dihasilkan adalah $9$.

Perbandingan dengan hasil kali titik standar: Jika menggunakan dot product biasa, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 2(4) + (-1)(3) = 5$. Bobot memodifikasi nilai hasil dalam secara signifikan — komponen kedua ($u_2 v_2$) diperbesar pengaruhnya oleh faktor 5, sementara komponen pertama hanya oleh faktor 3.

11.2.2 Hasil Dalam Ruang Fungsi Kontinu ($C[a,b]$)

Aplikasi paling radikal dan luar biasa dari aljabar linear abstrak terjadi ketika kita memperlakukan fungsi matematika kontinu sebagai elemen-elemen vektor, dan mengukur interaksi geometris antar-fungsi tersebut memanfaatkan kalkulus integral tentu.

Definisi 11.3 — Hasil Dalam Standar pada Ruang Fungsi $C[a,b]$

Misalkan $C[a,b]$ menyatakan ruang vektor dari seluruh fungsi matematika yang bersifat kontinu sepanjang selang interval tertutup $[a,b]$. Jika $f(x)$ dan $g(x)$ bertindak sebagai dua buah elemen fungsi kontinu di dalam ruang tersebut, maka hasil dalam standar mereka didefinisikan sebagai nilai integral tentu:

\[ \langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x)\,g(x) \, dx \]

Contoh 11.2 — Evaluasi Hasil Dalam pada Ruang Fungsi Kontinu

Tinjau ruang fungsi kontinu $C[0, 1]$. Jika diketahui $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2$, hitunglah $\langle f, g \rangle$.

Penyelesaian:

\[ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{1} (x)(x^2) \, dx = \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \]

Nilai hasil dalam dari interaksi kedua fungsi kontinu tersebut adalah $\frac{1}{4}$.

11.2.3 Hasil Dalam Ruang Polinomial ($P_n$) via Titik Evaluasi

Selain menggunakan metode integrasi kontinu, kita juga dapat mengonstruksi ruang hasil dalam untuk rumpun fungsi polinomial berderajat terhingga ($P_n$) memanfaatkan sekumpulan titik sampel diskrit atau koordinat evaluasi tertentu.

Definisi 11.4 — Hasil Dalam Evaluasi Diskrit pada $P_n$

Misalkan $p(x)$ dan $q(x)$ adalah dua buah suku polinomial di dalam ruang vektor polinomial berderajat maksimal $n$ ($P_n$). Jika kita memilih sebanyak tepat $n+1$ buah titik sampel bilangan real yang saling berbeda, dinotasikan sebagai $x_0, x_1, \ldots, x_n$, maka fungsi hasil dalam didefinisikan sebagai:

\[ \langle p, q \rangle = p(x_0)\,q(x_0) + p(x_1)\,q(x_1) + \cdots + p(x_n)\,q(x_n) \]

Catatan: Jumlah titik pengujian wajib minimal $n+1$ titik agar sebuah polinomial berderajat $n$ yang menghasilkan evaluasi total nol dipastikan merupakan polinomial nol (sesuai Teorema Dasar Aljabar), sehingga aksioma positif definit terpenuhi.

Contoh 11.2b — Perhitungan Hasil Dalam Evaluasi Diskrit pada $P_2$

Tinjau ruang polinomial $P_2$ (polinomial berderajat maksimal 2). Pilih tiga titik evaluasi $x_0 = 0$, $x_1 = 1$, $x_2 = 2$. Hitunglah $\langle p, q \rangle$ untuk $p(x) = x + 1$ dan $q(x) = x^2$.

Penyelesaian: Evaluasi kedua polinomial pada ketiga titik sampel:

\[ \begin{array}{c|ccc} & x_0 = 0 & x_1 = 1 & x_2 = 2 \\ \hline p(x) = x + 1 & 1 & 2 & 3 \\ q(x) = x^2 & 0 & 1 & 4 \end{array} \]

Jumlahkan produk evaluasi titik-per-titik:

\[ \langle p, q \rangle = (1)(0) + (2)(1) + (3)(4) = 0 + 2 + 12 = 14 \]

Verifikasi cepat positif definit: Hitung $\langle p, p \rangle = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 > 0$ untuk polinomial non-nol $p(x) = x+1$ ($\checkmark$).

Perhatian: Nilai $\langle p, q \rangle = 14$ berbeda dari $\langle f, g \rangle = \frac{1}{4}$ pada Contoh 11.2 yang menggunakan integral kontinu pada selang yang sama. Ini menunjukkan bahwa pilihan definisi hasil dalam secara fundamental mengubah "geometri" ruang — panjang, jarak, dan sudut akan berbeda tergantung pada fungsi hasil dalam yang dipilih.

11.3 Metrik Geometri: Norma, Jarak, dan Sudut

Setelah sebuah ruang vektor secara sah dilengkapi dengan fungsi hasil dalam, kita dapat mengekstrak metrik geometri fundamental yang sebelumnya hanya terbatas pada ruang visual biasa.

11.3.1 Formulasi Umum Norma dan Jarak

Definisi 11.5 — Norma (Panjang Vektor) dalam Ruang Hasil Dalam

Norma dari $\mathbf{v} \in V$, dinotasikan $\|\mathbf{v}\|$, didefinisikan sebagai:

\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle} \]

Sebuah vektor dinyatakan sebagai vektor unit jika $\|\mathbf{v}\| = 1$.

Definisi 11.6 — Jarak dalam Ruang Hasil Dalam

Jarak antara $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam ruang hasil dalam $V$ didefinisikan sebagai:

\[ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| = \sqrt{\langle\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{u} - \mathbf{v}\rangle} \]

Contoh 11.3 — Panjang dan Jarak pada Ruang Fungsi Kontinu $C[0,1]$

Tinjau kembali $C[0,1]$ dengan hasil dalam standar integral. Hitunglah $\|f\|$ untuk $f(x) = x$ serta jarak $d(f,g)$ antara $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2$.

Penyelesaian:

1. Norma $f(x) = x$:

\[ \langle f, f \rangle = \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \qquad\implies\qquad \|f\| = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

2. Jarak $d(f,g)$: Fungsi selisih: $f(x) - g(x) = x - x^2$.

\[ \langle f - g, f - g \rangle = \int_{0}^{1} (x - x^2)^2 \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 2x^3 + x^4) \, dx \]

\[ = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{5}x^5 \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{10 - 15 + 6}{30} = \frac{1}{30} \]

\[ d(f,g) = \sqrt{\frac{1}{30}} = \frac{\sqrt{30}}{30} \]

Panjang fungsi $f$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{3}$ dan jarak abstrak antara kedua kurva bernilai $\frac{\sqrt{30}}{30}$.

Contoh 11.3b — Norma dan Jarak pada Hasil Dalam Berbobot

Gunakan hasil dalam berbobot $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3u_1 v_1 + 5u_2 v_2$ dari Contoh 11.1 untuk menghitung $\|\mathbf{v}\|$ dengan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$, serta jarak $d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ dengan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$.

Penyelesaian:

\[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle} = \sqrt{3(4)^2 + 5(3)^2} = \sqrt{3 \cdot 16 + 5 \cdot 9} = \sqrt{48 + 45} = \sqrt{93} \]

Selisih: $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2-4 \\ -1-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -4 \end{bmatrix}$.

\[ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \sqrt{3(-2)^2 + 5(-4)^2} = \sqrt{12 + 80} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \]

Perbandingan: Dengan dot product standar, $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{16+9} = 5$ dan $d(\mathbf{u},\mathbf{v}) = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. Bobot membesarkan komponen kedua, sehingga vektor dengan komponen kedua besar (seperti $\mathbf{v} = [4,3]^T$) mendapat norma yang lebih besar di bawah metrik berbobot ini.

11.3.2 Formulasi Sudut Antar-Vektor

Definisi 11.7 — Sudut Antar-Vektor dalam Ruang Hasil Dalam

Sudut $\theta$ yang terbentuk di antara dua buah vektor non-nol $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ didefinisikan melalui:

\[ \cos\theta = \frac{\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|} \quad \implies \quad \theta = \arccos\left(\frac{\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}\right) \]

Definisi ini dijamin valid karena nilai rasio di dalam tanda kurung selalu berada dalam $[-1, 1]$ berdasarkan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz (Bagian 11.4).

Contoh 11.3c — Menghitung Sudut Antar-Fungsi di $C[0,1]$

Hitunglah sudut $\theta$ antara fungsi $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2$ di dalam ruang $C[0,1]$ dengan hasil dalam standar integral.

Penyelesaian: Kita sudah menghitung sebagian besar komponen yang diperlukan dari contoh-contoh sebelumnya:

\[ \langle f, g \rangle = \frac{1}{4} \quad\text{(Contoh 11.2)}, \qquad \|f\| = \sqrt{\frac{1}{3}} \quad\text{(Contoh 11.3)} \]

Yang belum: norma $\|g\|$:

\[ \langle g, g \rangle = \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \left[\frac{1}{5}x^5\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} \qquad\implies\qquad \|g\| = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \]

Substitusikan ke dalam rumus sudut:

\[ \cos\theta = \frac{\langle f, g \rangle}{\|f\|\,\|g\|} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{1}{5}}} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{1}{15}}} = \frac{1}{4} \cdot \sqrt{15} = \frac{\sqrt{15}}{4} \]

\[ \theta = \arccos\!\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right) \approx \arccos(0.9682) \approx 14.5° \]

Interpretasi geometris: Sudut sekitar $14.5°$ mengindikasikan bahwa fungsi $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2$ pada $[0,1]$ memiliki kemiripan yang cukup tinggi — keduanya monoton naik dan bernilai nol di titik asal. Ini masuk akal secara intuitif: semakin kecil sudut, semakin "searah" dua fungsi tersebut dalam ruang abstrak.

11.4 Teorema Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan salah satu pilar teoretis paling penting dalam seluruh analisis aljabar linear terapan. Teorema ini memberikan jaminan mutlak bahwa interaksi hasil dalam antara dua elemen vektor akan selalu dibatasi secara ketat oleh perkalian panjang dari masing-masing vektor tersebut.

Teorema 11.2 — Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Misalkan $V$ bertindak sebagai sebuah ruang hasil dalam. Untuk setiap pasangan $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$:

\[ |\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \;\leq\; \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \]

Kesamaan ($=$) tercapai jika dan hanya jika $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ saling bergantung linear (kolinear).

Bukti Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Jika salah satu vektor bernilai nol, misalkan $\mathbf{u} = \mathbf{0}$, maka $\langle\mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle = 0$ dan $\|\mathbf{0}\| = 0$, sehingga $0 \leq 0$ (terbukti).

Untuk kasus $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$ dan $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$, definisikan fungsi kuadratis dalam parameter $t \in \mathbb{R}$:

\[ \langle t\mathbf{u} + \mathbf{v}, t\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle \;\geq\; 0 \]

Jabarkan menggunakan sifat aditif, homogenitas, dan simetri:

\[ t^2 \langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle + 2t \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \;\geq\; 0 \]

Substitusikan definisi norma untuk memperoleh polinomial kuadratis $at^2 + bt + c \geq 0$ dengan:

\[ a = \|\mathbf{u}\|^2 > 0, \qquad b = 2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle, \qquad c = \|\mathbf{v}\|^2 \]

Agar polinomial kuadratis dengan $a > 0$ selalu non-negatif untuk semua $t$, diskriminannya harus non-positif ($b^2 - 4ac \leq 0$):

\[ \bigl(2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle\bigr)^2 - 4\|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \;\leq\; 0 \qquad\implies\qquad 4\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle^2 \;\leq\; 4\|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \]

Bagi kedua ruas dengan $4$, kemudian tarik akar kuadrat:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle^2 \;\leq\; \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \qquad\implies\qquad |\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \;\leq\; \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \]

Kasus kesamaan: Jika diskriminan $= 0$, maka polinomial memiliki akar ganda $t_0$, sehingga $\langle t_0\mathbf{u} + \mathbf{v},\, t_0\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle = 0$. Oleh aksioma positif definit, $t_0\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{0}$, yaitu $\mathbf{v} = -t_0\mathbf{u}$ — kedua vektor bergantung linear. ∎

Contoh 11.4a — Verifikasi Numerik Cauchy-Schwarz di $C[0,\pi]$

Verifikasikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk $f(x) = \sin x$ dan $g(x) = \cos x$ di dalam ruang $C[0, \pi]$ dengan hasil dalam standar integral.

Penyelesaian: Hitung ketiga komponen yang diperlukan.

Hasil dalam:

\[ \langle f, g \rangle = \int_{0}^{\pi} \sin x \cos x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}\sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{4}\cos 2x\right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{4}\cos 2\pi + \frac{1}{4}\cos 0 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0 \]

Norma masing-masing:

\[ \|f\|^2 = \int_{0}^{\pi} \sin^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \]

\[ \|g\|^2 = \int_{0}^{\pi} \cos^2 x \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \left[\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2} \]

Jadi $\|f\| = \|g\| = \sqrt{\pi/2}$.

Verifikasi ketaksamaan:

\[ \underbrace{|\langle f, g \rangle|}_{0} \;\leq\; \underbrace{\|f\|\,\|g\|}_{\pi/2} \qquad\implies\qquad 0 \leq \frac{\pi}{2} \;\checkmark \]

Analisis kasus kesamaan: Ketidaksetaraan ini bersifat ketat ($0 < \pi/2$), yang sesuai dengan syarat kesamaan C-S: $\sin x$ dan $\cos x$ tidak saling bergantung linear (tidak ada konstanta $c$ sehingga $\sin x = c \cos x$ untuk semua $x \in [0,\pi]$). Fakta bahwa $\langle f, g \rangle = 0$ juga menunjukkan bahwa kedua fungsi ini ortogonal — sebuah konsep yang akan diformalkan pada Bagian 11.6.

Contoh 11.4b — Verifikasi Cauchy-Schwarz pada Hasil Dalam Berbobot

Verifikasikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 3 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^2$ dengan hasil dalam berbobot $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3u_1 v_1 + 5u_2 v_2$.

Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 9, \qquad \|\mathbf{u}\| = \sqrt{3(2)^2 + 5(-1)^2} = \sqrt{12 + 5} = \sqrt{17}, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{93} \]

Verifikasi:

\[ \underbrace{|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle|}_{9} \;\leq\; \underbrace{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}_{\sqrt{17} \cdot \sqrt{93} = \sqrt{1581} \approx 39.76} \qquad\implies\qquad 9 \leq 39.76 \;\checkmark \]

Ketidaksetaraan bersifat ketat karena $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ tidak saling kelipatan skalar (tidak ada $c$ sehingga $[2,-1]^T = c[4,3]^T$).

11.5 Teorema Ketaksamaan Segitiga

Sebagai konsekuensi langsung dari Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita dapat menurunkan metrik pembatas geometri fundamental kedua.

Teorema 11.3 — Ketaksamaan Segitiga

Untuk setiap $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ di dalam ruang hasil dalam:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \;\leq\; \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \]

Bukti Ketaksamaan Segitiga

Kuadratkan ruas kiri dan uraikan menjadi hasil dalam:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \langle\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Terapkan C-S: $2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle \leq 2|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle| \leq 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 \;\leq\; \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 = \bigl(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|\bigr)^2 \]

Tarik akar kuadrat positif pada kedua ruas (\checkmark). ∎

Contoh 11.5a — Verifikasi Numerik Ketaksamaan Segitiga di $C[0,1]$

Verifikasikan ketaksamaan segitiga untuk $f(x) = x$ dan $g(x) = x^2$ di $C[0,1]$.

Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya, $\|f\| = \sqrt{1/3}$ dan $\|g\| = \sqrt{1/5}$. Ruas kanan:

\[ \|f\| + \|g\| = \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{\frac{1}{5}} \approx 0.5774 + 0.4472 = 1.0246 \]

Ruas kiri — hitung $\|f + g\|$:

\[ \|f + g\|^2 = \int_{0}^{1} (x + x^2)^2 \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 2x^3 + x^4) \, dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{31}{30} \]

\[ \|f + g\| = \sqrt{\frac{31}{30}} \approx 1.0166 \]

Verifikasi:

\[ \underbrace{\|f + g\|}_{\approx 1.0166} \;\leq\; \underbrace{\|f\| + \|g\|}_{\approx 1.0246} \;\checkmark \]

Ketidaksetaraan bersifat ketat karena $f$ dan $g$ tidak saling bergantung linear (tidak ada konstanta $c$ sehingga $x = c\,x^2$ untuk semua $x \in [0,1]$).

11.6 Konsep Ortogonalitas Umum

Ketika sudut yang terbentuk di antara dua objek abstrak bernilai siku-siku murni ($\theta = 90^\circ$), nilai $\cos\theta = 0$, sehingga hasil dalam gabungan mereka runtuh menjadi nol. Kondisi geometris inilah yang melahirkan konsep ketegaklurusan abstrak.

Definisi 11.8 — Ortogonalitas (Ketegaklurusan)

Dua vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam ruang hasil dalam $V$ dinyatakan ortogonal, dinotasikan $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$, jika dan hanya jika:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0 \]

Vektor Nol Ortogonal terhadap Semua Vektor

Berdasarkan Teorema 11.1 Properti 1, $\langle\mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle = 0$ untuk semua $\mathbf{v}$. Oleh karena itu, vektor nol bersifat ortogonal terhadap setiap vektor di $V$. Ketika kita membahas "pasangan ortogonal," konteksnya biasanya mengasumsikan kedua vektor non-nol.

Contoh 11.6a — Ortogonalitas Fungsi di $C[-1,1]$: Fungsi Ganjil-Genap

Tunjukkan bahwa $f(x) = 1$ (fungsi genap) dan $g(x) = x$ (fungsi ganjil) bersifat ortogonal di dalam ruang $C[-1, 1]$ dengan hasil dalam standar integral.

Penyelesaian:

\[ \langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} (1)(x) \, dx = \int_{-1}^{1} x \, dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \]

Karena $\langle f, g \rangle = 0$, maka $f \perp g$ (\checkmark).

Prinsip umum: Ini bukan kebetulan. Pada selang simetris $[-a, a]$, hasil dalam antara sebarang fungsi genap $p(x) = p(-x)$ dan fungsi ganjil $q(x) = -q(-x)$ selalu nol, karena integran $p(x)\,q(x)$ merupakan fungsi ganjil dan integral fungsi ganjil pada selang simetris menghasilkan nol. Prinsip ini menjadi dasar efisiensi komputasi dalam analisis Deret Fourier.

Contoh 11.6b — Ortogonalitas di Hasil Dalam Berbobot

Apakah $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ ortogonal di bawah hasil dalam berbobot $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3u_1 v_1 + 5u_2 v_2$?

Penyelesaian:

\[ \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 3(1)(5) + 5(2)(-1) = 15 - 10 = 5 \neq 0 \]

Bukan ortogonal di bawah metrik berbobot ini.

Perbandingan menarik: Di bawah dot product standar, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1) = 3 \neq 0$ — juga bukan ortogonal. Namun, perhatikan bahwa sepasang vektor bisa ortogonal di bawah satu hasil dalam tetapi tidak ortogonal di bawah hasil dalam lainnya. Sebagai contoh, $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} \sqrt{5} \\ -\sqrt{3} \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ \sqrt{5} \end{bmatrix}$:

\[ \text{Standar: } \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sqrt{15} - \sqrt{15} = 0 \;\checkmark \qquad \text{Berbobot: } 3\sqrt{15} - 5\sqrt{15} = -2\sqrt{15} \neq 0 \;\times \]

Ortogonalitas bersifat relatif terhadap pilihan hasil dalam, bukan properti intrinsik pasangan vektor.

Teorema 11.4 — Teorema Pythagoras yang Digeneralisasikan

Jika $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$ di dalam ruang hasil dalam, maka:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Bukti

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + 2(0) + \|\mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \quad \text{(karena } \mathbf{u} \perp \mathbf{v}\text{)} \]

Pembuktian selesai. ∎

Contoh 11.6c — Verifikasi Teorema Pythagoras pada Ruang Fungsi $C[0,\pi]$

Dari Contoh 11.4a, kita mengetahui bahwa $\sin x$ dan $\cos x$ ortogonal di $C[0,\pi]$. Verifikasikan Teorema Pythagoras untuk pasangan fungsi ini.

Penyelesaian: Dari Contoh 11.4a, $\|f\|^2 = \|g\|^2 = \pi/2$. Ruas kanan Pythagoras:

\[ \|\sin x\|^2 + \|\cos x\|^2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi \]

Ruas kiri — hitung $\|f + g\|^2$ secara langsung:

\[ \|\sin x + \cos x\|^2 = \int_{0}^{\pi} (\sin x + \cos x)^2 \, dx = \int_{0}^{\pi} (\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) \, dx \]

\[ = \int_{0}^{\pi} \underbrace{(\sin^2 x + \cos^2 x)}_{=\,1} \, dx + \int_{0}^{\pi} \underbrace{2\sin x \cos x}_{=\,\sin 2x} \, dx = \int_{0}^{\pi} 1 \, dx + \int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx \]

\[ = \bigl[x\bigr]_{0}^{\pi} + \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_{0}^{\pi} = \pi + \left(-\frac{1}{2}\cos 2\pi + \frac{1}{2}\cos 0\right) = \pi + \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = \pi \]

Verifikasi:

\[ \underbrace{\|\sin x + \cos x\|^2}_{\pi} = \underbrace{\|\sin x\|^2 + \|\cos x\|^2}_{\pi} \;\checkmark \]

Teorema Pythagoras — yang awalnya hanya berlaku untuk segitiga siku-siku di bidang datar — terbukti berlaku secara presisi untuk fungsi trigonometri di ruang fungsi tak-terhingga dimensi. Inilah kekuatan pendekatan aksiomatik.

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 11 melambangkan perluasan konseptual terbesar kedua dalam kurikulum aljabar linear Semester 2. Kita tidak lagi dibatasi oleh batasan spasial dari anak panah atau barisan angka di dalam matriks persegi. Dengan mengabstraksikan operasi hasil kali titik menjadi empat aksioma universal hasil dalam, kita berhasil mentransfer seluruh instrumen geometri canggih (norma panjang, jarak pemisahan, sudut penyimpangan, dan ketegaklurusan) langsung ke ranah ruang fungsi berkelanjutan dan suku polinomial.

Perlu dicatat bahwa ortogonalitas bersifat relatif — sepasang vektor bisa tegak lurus di bawah satu hasil dalam namun tidak di bawah hasil dalam lainnya (Contoh 11.6b). Pemilihan hasil dalam menentukan "geometri" ruang, dan dengan itu menentukan mana pasangan vektor yang dianggap saling tegak lurus. Fakta ini memiliki implikasi mendalam pada Bab 12, di mana kita akan menggunakan proses Gram-Schmidt untuk membangun basis ortogonal — hasilnya akan bergantung sepenuhnya pada pilihan hasil dalam yang digunakan.

Instrumen analitis bab ini akan langsung dikembangkan pada Bab 12 (Ortogonalitas & Gram-Schmidt) untuk menyusun algoritma purifikasi basis, mengonstruksi proyeksi aproksimasi kuadrat terkecil pada Bab 14, serta membuka jalan bagi dekomposisi nilai singular (SVD) pada Bab 16.

Latihan Evaluasi Akhir Bab 11

Sebuah fungsi pemetaan pada $\mathbb{R}^2$ didefinisikan sebagai $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 4u_1 v_1 - 2u_1 v_2 - 2u_2 v_1 + 3u_2 v_2$. Fungsi ini dapat ditulis sebagai $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = \mathbf{u}^T A \mathbf{v}$ dengan $A = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}$.
- (a) Verifikasikan bahwa $A$ simetris, lalu buktikan bahwa $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle$ memenuhi keempat aksioma hasil dalam. (Petunjuk untuk Aksioma 4: gunakan fakta bahwa $\mathbf{v}^T A \mathbf{v} = 4v_1^2 - 4v_1 v_2 + 3v_2^2$, lalu lengkapkan menjadi kuadrat sempurna.)
- (b) Hitunglah $\|\mathbf{v}\|$ untuk $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$.
Tinjau ruang $C[0,1]$ dengan hasil dalam standar integral. Diketahui $f(x) = 1$ dan $g(x) = e^x$:
- (a) Hitunglah $\langle f, g \rangle$.
- (b) Hitunglah $\|f\|$ dan $\|g\|$.
- (c) Hitunglah jarak $d(f,g)$.
- (d) Hitunglah sudut $\theta$ antara $f$ dan $g$.
Tinjau ruang $C[-1, 1]$ dengan hasil dalam standar integral.
- (a) Tunjukkan bahwa $f(x) = 1$ dan $g(x) = x$ bersifat ortogonal.
- (b) Verifikasi Teorema Pythagoras untuk pasangan ini: hitung $\|f + g\|^2$ secara langsung dan bandingkan dengan $\|f\|^2 + \|g\|^2$.
Misalkan $\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 2u_1 v_1 + 3u_2 v_2$ pada $\mathbb{R}^2$. Dengan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix}$:
- (a) Hitunglah $\cos\theta$ antara $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$.
- (b) Bandingkan dengan $\cos\theta$ yang dihitung menggunakan dot product standar. Apakah sudutnya sama? Jelaskan mengapa.
Tinjau ruang polinomial $P_1$ (polinomial berderajat maksimal 1) dengan titik evaluasi $x_0 = -1$ dan $x_1 = 1$, sehingga $\langle p, q \rangle = p(-1)\,q(-1) + p(1)\,q(1)$.
- (a) Hitunglah $\langle p, q \rangle$ untuk $p(x) = x + 1$ dan $q(x) = x - 1$.
- (b) Apakah $p$ dan $q$ ortogonal di bawah hasil dalam ini?
- (c) Verifikasikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk pasangan ini.
Soal Pemikiran Analitis: Manfaatkan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk membuktikan bahwa untuk sebarang $a, b, c > 0$:
\[ (a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \;\geq\; 9 \]
Petunjuk: Definisikan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} \sqrt{a} \\ \sqrt{b} \\ \sqrt{c} \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{a} \\ 1/\sqrt{b} \\ 1/\sqrt{c} \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^3$ dengan dot product standar, lalu terapkan C-S.

Bab sebelumnya

Nilai Eigen & Diagonalisasi

Bab berikutnya

Ortogonalitas & Gram-Schmidt