Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris
Bab 1 mengenalkan eliminasi Gauss sebagai teknik intuitif: buat nol di bawah pivot, lalu baca solusi dari bawah. Bab ini memformalkan proses tersebut dengan dua bentuk standar — REF dan RREF — serta menunjukkan bagaimana bentuk akhir matriks augmented secara langsung menjawab tiga pertanyaan fundamental: apakah solusi ada, berapa banyak, dan bagaimana menulisnya.
2.1 Bentuk Eselon Baris (REF)
Dalam suatu baris tak-nol dari matriks, posisi pivot adalah kolom pertama yang memuat entri tak-nol (entri utama). Jika suatu baris seluruhnya nol, baris tersebut tidak memiliki posisi pivot.
Posisi pivot adalah posisi entri utama (angka tak-nol pertama) di setiap baris non-nol pada matriks berbentuk eselon. Dari matriks di atas, kita dapat mengidentifikasinya sebagai berikut:
- Baris 1: Entri tak-nol pertama adalah $3$, berada di kolom 2.
- Baris 2: Entri tak-nol pertama adalah $2$, berada di kolom 3.
- Baris 3: Entri tak-nol pertama adalah $5$, berada di kolom 4.
- Baris 4: Tidak memiliki pivot karena merupakan baris nol.
Kolom 2, 3, dan 4 disebut sebagai kolom pivot, sedangkan variabel yang bersesuaian dengan kolom 1 (yang tidak memiliki pivot) akan menjadi variabel bebas.
Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (Row Echelon Form — REF) jika memenuhi tiga syarat struktural berikut:
- Semua baris nol (jika ada) dikelompokkan bersama di bagian paling bawah matriks.
- Elemen utama tak-nol (pivot) pada baris berikutnya harus berada lebih ke kanan daripada elemen utama baris di atasnya.
- Semua entri dalam satu kolom yang berada di bawah elemen utama (pivot) wajib bernilai nol.
Untuk memahami Row Echelon Form (REF), mari kita bedah visualisasi matriks yang memenuhi kriteria tangga sempurna dibandingkan dengan matriks yang melanggar aturan eliminasi:
1. Memenuhi Syarat REF (Struktur Tangga Sempurna):
Matriks ini valid sebagai REF karena entri utama tak-nol (pivot) pada posisi $(1,1)$, $(2,2)$, dan $(3,3)$ secara konsisten bergeser ke kanan membentuk pola tangga, dan seluruh area di bawah garis tangga tersebut bernilai nol.
2. Bukan REF (Melanggar Aturan Pergeseran Kanan):
Matriks ini gagal memenuhi syarat REF karena urutan kolom pivotnya mundur. Pivot baris kedua berada di kolom 3, sedangkan pivot baris ketiga justru bergeser kembali ke kiri ke kolom 2. Masalah ini dapat diselesaikan melalui operasi penukaran baris ($R_2 \leftrightarrow R_3$).
3. Bukan REF (Melanggar Aturan Nol di Bawah Pivot):
Matriks ini bukan bentuk REF karena entri di bawah posisi pivot $(2,2)$ tidak bersih. Angka $\color{#dc2626}{2}$ pada posisi $(3,2)$ berada langsung di bawah pivot $3$, yang melanggar aturan eliminasi. Kita membutuhkan operasi baris elementer ($R_3 - \frac{2}{3}R_2$) untuk menghilangkan angka tersebut.
2.1.1 Posisi Pivot dan Kolom Pivot
Kolom yang memuat elemen pivot dari suatu baris didefinisikan sebagai kolom pivot. Jumlah pivot di dalam matriks koefisien selalu sama dengan jumlah baris non-nol setelah reduksi, yang merepresentasikan nilai rank dari matriks tersebut (akan dibahas secara formal pada Bab 8).
Pada matriks augmented $[A \mid \mathbf{b}]$, kolom terakhir (kolom konstanta $\mathbf{b}$) **bisa menjadi kolom pivot**. Jika proses OBE menghasilkan baris kontradiksi seperti $\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \mid & \color{#dc2626}{5} \end{bmatrix}$, maka kolom konstanta bertindak sebagai kolom pivot. Kondisi ini merupakan indikator utama bahwa sistem persamaan linear tersebut inkonsisten (tidak memiliki solusi).
Tidak semua kolom dalam matriks koefisien akan menjadi kolom pivot. Kolom koefisien yang tidak memuat elemen pivot disebut sebagai kolom bebas, dan variabel yang berkorespondensi dengannya disebut sebagai variabel bebas (free variables). Konsep ini merupakan kunci utama untuk menyusun dan menyatakan solusi tak hingga pada Bagian 2.5.
2.2 Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF)
Sebuah matriks yang sudah berada dalam bentuk eselon baris (REF) dinyatakan valid sebagai bentuk eselon baris tereduksi (RREF) jika memenuhi dua syarat tambahan berikut:
- Setiap elemen utama tak-nol (pivot) wajib bernilai tepat 1 (disebut sebagai leading 1).
- Setiap elemen utama (pivot) harus menjadi satu-satunya entri tak-nol di dalam kolom tempat pivot tersebut berada.
1. Matriks REF tetapi BUKAN RREF:
Matriks ini gagal dikategorikan sebagai RREF karena alasan berikut:
- Nilai elemen utama (pivot) pada posisi $(1,1)$, $(2,2)$, dan $(3,3)$ tidak bernilai $1$ (melanggar Aturan 4).
- Terdapat entri tak-nol yang berada di atas elemen utama, yaitu angka $4$ di atas pivot $3$ (kolom 2), serta angka $-2$ dan $1$ di atas pivot $5$ (kolom 3) (melanggar Aturan 5).
2. Matriks RREF (Bentuk Tereduksi Sempurna):
Matriks ini memenuhi seluruh kriteria RREF secara sempurna: semua elemen utama bernilai tepat $1$, dan seluruh entri baik di bawah maupun di atas elemen utama tersebut bernilai nol tanpa sisa.
Pemilihan bentuk eselon disesuaikan berdasarkan tujuan akhir komputasi:
- Bentuk REF: Sangat ideal untuk mendeteksi eksistensi serta karakteristik jumlah solusi sistem secara cepat. Proses kalkulasinya jauh lebih efisien karena membutuhkan langkah operasi baris yang minimal, menjadikannya algoritma dasar bagi metode Faktorisasi LU pada Bab 4.
- Bentuk RREF: Menyajikan informasi solusi secara lengkap dan eksplisit. Karena seluruh kolom pivot telah dibersihkan, nilai dari setiap variabel dapat langsung dibaca tanpa memerlukan perhitungan substitusi balik (back-substitution).
Sebagai aturan praktis: RREF jauh lebih nyaman digunakan untuk pengerjaan analitis manual di atas kertas, sedangkan REF jauh lebih efisien diimplementasikan ke dalam kode algoritma komputer.
2.3 Algoritma Gauss-Jordan
Algoritma Gauss-Jordan merupakan perluasan langsung dari metode eliminasi Gauss. Setelah berhasil menciptakan entri nol di bawah setiap elemen pivot (fase eliminasi maju / forward elimination), kita melanjutkan proses komputasi dengan membersihkan seluruh entri di atas elemen pivot serta menormalisasi nilai pivot menjadi tepat 1 (fase eliminasi mundur / backward elimination). Output akhir dari rangkaian proses ini adalah matriks berbentuk RREF.
Fase 1: Eliminasi Maju (Forward Elimination — Pembentukan REF)
Proses berjalan untuk setiap kolom, bergerak berurutan dari kiri ke kanan:
- Pemilihan Pivot: Identifikasi baris teratas dari sub-matriks aktif yang memiliki entri tak-nol pada kolom tersebut. Lakukan operasi permutasi baris ($R_i \leftrightarrow R_j$) apabila diperlukan.
- Eliminasi Bawah: Buat entri menjadi nol di bawah posisi pivot. Untuk setiap baris di bawah pivot, terapkan operasi penggantian baris: $R_i - cR_{\text{pivot}} \to R_i$.
Fase 2: Eliminasi Mundur (Backward Elimination — Pembentukan RREF)
Proses berjalan secara terbalik, bergerak dari elemen pivot paling bawah menuju ke atas:
- Normalisasi Baris: Kalikan baris pivot dengan faktor skalar inversinya ($1/\text{pivot}$) agar nilai elemen utama baris tersebut bertransformasi menjadi tepat $1$ (leading 1).
- Eliminasi Atas: Buat entri menjadi nol pada area di atas elemen utama tersebut. Untuk setiap baris yang terletak di atas baris pivot aktif, terapkan operasi penggantian baris: $R_i - cR_{\text{pivot}} \to R_i$.
Catatan Komputasi: Pada pengerjaan manual di atas kertas, menormalisasi baris menjadi $1$ di awal Fase 2 sangat disarankan demi kemudahan hitung. Namun pada pemrograman komputer, eliminasi atas sering dilakukan terlebih dahulu menggunakan pecahan sebelum penskalaan akhir untuk menekan akumulasi galat pembulatan (floating-point rounding errors).
Mari kita selesaikan kembali sistem linear dari Bab 1 menggunakan reduksi penuh Gauss-Jordan: $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$, $2x_2 - 8x_3 = 8$, $5x_1 - 5x_3 = 10$.
Pelaksanaan Fase 1 (Forward Elimination):
Struktur eselon baris (REF) telah tercapai pada langkah ini. Kita lanjutkan menuju fase eliminasi mundur untuk mentransformasikannya menjadi bentuk tereduksi (RREF):
Pelaksanaan Fase 2 (Backward Elimination):
Bentuk RREF Sempurna Tercapai. Berkat hilangnya seluruh komponen pengali di luar diagonal utama, nilai solusi dari setiap variabel dapat dibaca secara langsung dari kolom konstanta paling kanan tanpa memerlukan proses kalkulasi substitusi balik: $\mathbf{x_1 = 1}$, $\mathbf{x_2 = 0}$, dan $\mathbf{x_3 = -1}$.
2.4 Analisis Solusi dari RREF
Bentuk matriks RREF dari sebuah matriks augmented secara langsung menjawab semua pertanyaan esensial mengenai karakteristik solusi sistem. Kunci analisis ini terletak pada pengamatan pola baris-baris matriks setelah seluruh tahapan eliminasi selesai dilakukan.
2.4.1 Skenario 1: Solusi Unik
Jika setiap kolom variabel dalam matriks augmented (selain kolom konstanta paling kanan) memuat elemen pivot tak-nol setelah proses reduksi, maka sistem linear tersebut memiliki tepat satu solusi unik.
Matriks di atas memiliki tiga kolom variabel dan tiga elemen pivot utama, tanpa menyisakan kolom variabel bebas. Nilai solusi dapat dibaca secara deterministik dari baris-baris matriks: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$, dan $x_3 = 3$.
2.4.2 Skenario 2: Tak Hingga Banyak Solusi
Jika terdapat minimal satu kolom variabel yang tidak memuat elemen pivot (dan sistem tidak memuat baris kontradiksi $0 = b$), maka sistem linear memiliki tak hingga banyak solusi. Setiap variabel yang berkorespondensi dengan kolom tanpa pivot bertindak sebagai variabel bebas (free variable) dan dapat diasumsikan dengan sebarang nilai parameter real.
Selesaikan sistem linear berikut: $x_1 + 2x_2 - x_3 = 3$ dan $2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 6$.
Transformasi baris menghasilkan baris nol pada baris 2 ($0 = 0$), yang bernilai benar dan konsisten. Kolom 1 memuat elemen pivot, sedangkan kolom 2 dan 3 tidak memiliki pivot. Dengan demikian, $x_2$ dan $x_3$ ditetapkan sebagai variabel bebas. Misalkan $x_2 = s$ dan $x_3 = t$ di mana $s, t \in \mathbb{R}$. Dari baris 1, kita isolasi nilai variabel pivot: $x_1 = 3 - 2x_2 + x_3$.
Bentuk Solusi Parametrik Vektor:
Dengan melakukan substitusi nilai parameter $s$ dan $t$ secara bebas, kita dapat membangkitkan kombinasi solusi tak hingga. Sebagai ilustrasi sampel: pemilihan $s = 0, t = 1 \implies (4, 0, 1)$, sedangkan jika $s = 1, t = 0 \implies (1, 1, 0)$.
2.4.3 Skenario 3: Tidak Ada Solusi (Inkonsisten)
Sebuah sistem persamaan linear dinyatakan inkonsisten (tidak memiliki solusi) jika dan hanya jika kolom konstanta paling kanan bertindak sebagai kolom pivot, ditandai dengan munculnya struktur baris kontradiksi aljabar berbentuk:
Baris kontradiksi aljabar dapat langsung diidentifikasi secara valid sejak matriks berada dalam bentuk eselon baris dasar (REF), dan sifat ini akan tetap bertahan hingga matriks diubah ke bentuk tereduksi (RREF). Kita tidak perlu membuang langkah komputasi untuk menyelesaikan eliminasi mundur hingga bentuk RREF jika baris kontradiksi $[0 \cdots 0 \mid b]$ sudah muncul pada fase eliminasi maju.
Tinjau matriks eselon hasil operasi baris elementer berikut:
Analisis pada baris 3 mengekspansi persamaan linear asli berupa: $0x_1 + 0x_2 = 4 \implies 0 = 4$. Karena hubungan aljabar ini menghasilkan pernyataan yang mustahil (kontradiksi mutlak), maka sistem linear tersebut dipastikan tidak memiliki solusi.
2.5 Variabel Bebas dan Solusi Parametrik
Ketika sebuah sistem persamaan linear yang konsisten memiliki kolom-kolom bebas (kolom koefisien tanpa elemen pivot), himpunan solusinya wajib dinyatakan ke dalam bentuk solusi parametrik. Dalam representasi ini, seluruh variabel pivot akan diisolasi dan diekspresikan sebagai fungsi linier dari variabel bebas, sementara variabel-variabel bebas itu sendiri diberikan simbol parameter independen.
Selesaikan sistem linear berikut: $x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 4$, $x_3 - x_4 = 1$.
Matriks augmented sekarang telah berada dalam bentuk eselon baris tereduksi (RREF). Elemen pivot utama terletak pada posisi kolom 1 dan kolom 3. Karena kolom 2 dan kolom 4 tidak memiliki pivot, maka variabel $x_2$ dan $x_4$ bertindak sebagai variabel bebas. Kita definisikan parameter real bebas: $x_2 = s$ dan $x_4 = t$ di mana $s, t \in \mathbb{R}$.
Melalui pembacaan langsung pada baris-baris matriks RREF, kita isolasi setiap variabel pivot:
- Dari baris 2: $x_3 - x_4 = 1 \implies x_3 - t = 1 \implies \boxed{x_3 = 1 + t}$
- Dari baris 1: $x_1 + x_2 + x_4 = 5 \implies x_1 + s + t = 5 \implies \boxed{x_1 = 5 - s - t}$
Solusi Parametrik (Bentuk Dekomposisi Vektor):
Kita kumpulkan seluruh komponen variabel ke dalam satu matriks kolom tunggal, lalu dekomposisikan berdasarkan konstanta dan masing-masing parameter pembobotnya:
Urutan pemberian simbol parameter ($s, t, u, \ldots$) disarankan mengikuti urutan alami dari nomor kolom variabel bebasnya. Jika kolom 2 dan kolom 4 berstatus bebas, parameter pertama ($s$) dipasangkan untuk $x_2$ dan parameter kedua ($t$) untuk $x_4$. Pola penulisan ini sangat direkomendasikan demi kerapian struktur dokumen komputasi, meskipun secara aljabar tidak bersifat wajib — hal terpenting adalah memastikan setiap variabel bebas diwakili oleh satu variabel parameter yang unik dan independen.
Jika sebuah sistem persamaan linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ berstatus konsisten dan memiliki setidaknya satu kolom variabel bebas, maka formulasi solusi umumnya dapat didekomposisi secara tunggal menjadi bentuk geometri analitis:
Di mana komponen objek di atas didefinisikan sebagai:
- $\mathbf{p}$ mewakili sebuah solusi partikular (particular solution) tunggal yang valid memenuhi persamaan non-homogen $A\mathbf{p} = \mathbf{b}$.
- Vektor-vektor $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$ merupakan sekumpulan solusi fondasi (vektor basis) dari sistem homogen terkait ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$) yang merepresentasikan arah pergeseran ruang bentangan solusi.
- Nilai $s_1, \ldots, s_k$ bertindak sebagai parameter pengali real bebas.
Catatan Masa Depan: Pembuktian formal mengenai struktur ketunggalan ruang bentangan linear ini akan dibedah secara tuntas pada Bab 8 menggunakan aksioma teori ruang vektor (vector spaces) dan ruang nul (null space).
2.6 Sistem Persamaan Linear Homogen
Sebuah sistem persamaan linear diklasifikasikan sebagai sistem yang homogen jika vektor konstanta pada ruas kanan seluruhnya bernilai nol ($\mathbf{b} = \mathbf{0}$), yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:
Sistem persamaan linear homogen memiliki karakteristik unik yaitu selalu konsisten. Hal ini dikarenakan vektor nol ($\mathbf{x} = \mathbf{0}$) dijamin pasti memenuhi persamaan tersebut secara universal. Solusi dasar ini disebut sebagai solusi trivial.
2.6.1 Klasifikasi Solusi: Trivial vs Non-Trivial
Berdasarkan nilai komponen variabelnya, solusi dari sistem homogen dibagi menjadi dua jenis:
- Solusi Trivial: Solusi di mana seluruh variabel bernilai nol secara mutlak, yaitu $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}^T$.
- Solusi Non-Trivial: Setiap solusi lain di luar vektor nol yang memuat setidaknya satu elemen variabel bernilai tak-nol.
Pertanyaan fundamental bagi seorang analis aljabar linear adalah: Kondisi struktural seperti apa yang memaksa sebuah sistem homogen memiliki solusi non-trivial?
2.6.2 Teorema Jumlah Variabel Melebihi Jumlah Persamaan
Jika sebuah sistem persamaan linear homogen memiliki jumlah variabel yang lebih banyak daripada jumlah persamaan ($n > m$), maka sistem tersebut dipastikan selalu memiliki solusi non-trivial.
Matriks augmented dari sistem homogen berukuran $m \times n$ terdiri dari $n$ kolom variabel dan $1$ kolom konstanta yang seluruh elemennya berisi angka nol. Setelah dilakukan proses eliminasi, jumlah elemen pivot maksimum yang dapat terbentuk tidak akan pernah melebihi jumlah total baris matriks ($\text{jumlah pivot} \leq m < n$). Karena jumlah kolom variabel lebih banyak daripada jumlah total pivot, maka dipastikan minimal terdapat satu kolom variabel yang berstatus sebagai kolom bebas. Keberadaan variabel bebas inilah yang menjamin terciptanya ruang solusi non-trivial yang kontinu.
Catatan Teoretis: Pembuktian matematis secara kaku untuk struktur ini didasarkan pada Teorema Rank-Nullity yang akan kita bedah secara formal pada Bab 8.
Diberikan sistem homogen dengan 2 persamaan dan 3 variabel ($n > m$):
Proses eliminasi maju menghasilkan baris nol pada baris kedua, menandakan sistem konsisten tanpa kontradiksi. Elemen pivot hanya ditemukan pada kolom 1, sehingga kolom 2 dan kolom 3 bertindak sebagai kolom bebas. Kita definisikan parameter variabel bebas: $x_2 = s$ dan $x_3 = t$ di mana $s, t \in \mathbb{R}$.
Dari baris 1, kita isolasi variabel pivot: $x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 \implies \boxed{x_1 = 2s - 3t}$.
Untuk membangkitkan salah satu sampel solusi non-trivial, kita bebas mengasumsikan nilai parameter. Misalkan kita pilih nilai $s = 2$ dan $t = 1$, maka kita dapatkan nilai $x_1 = 2(2) - 3(1) = 1$. Hal ini menghasilkan vektor solusi non-trivial valid: $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}^T$.
Jika kondisi sistem menunjukkan jumlah persamaan lebih banyak atau sama dengan jumlah variabel ($m \geq n$), sistem homogen tetap memiliki peluang untuk memunculkan solusi non-trivial. Karakteristik ini bergantung sepenuhnya pada ketergantungan linear entri matriks koefisiennya:
- Jika seluruh baris bersifat independen (misalnya matriks identitas $I\mathbf{x} = \mathbf{0}$), maka sistem dipastikan hanya memiliki solusi trivial.
- Jika terdapat baris yang merupakan hasil kombinasi linear atau kelipatan dari baris lainnya, maka reduksi eselon akan memunculkan variabel bebas yang memicu eksistensi solusi non-trivial.
Kriteria mutlak untuk kondisi ini adalah: Solusi non-trivial akan eksis jika dan hanya jika nilai $\text{rank}(A) < n$.
Tinjau sistem homogen berordo sama berikut, di mana baris 2 dan baris 3 merupakan kelipatan linear dari baris 1:
Meskipun dimensi $m = n = 3$, operasi baris elementer meruntuhkan baris 2 dan 3 menjadi baris nol secara total. Kondisi ini membuat nilai $\text{rank}(A) = 1 < 3$, yang menyisakan dua variabel bebas pada kolom 2 dan 3 ($x_2 = s, x_3 = t$).
Dari baris 1 kita dapatkan hubungan: $x_1 + 2s - t = 0 \implies x_1 = -2s + t$. Dengan mengambil parameter sampel $s = 0, t = 1$, kita berhasil mengekstraksi salah satu solusi non-trivial yaitu $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T$.
Bab 2 berhasil menuntaskan permasalahan analisis yang belum terselesaikan pada Bab 1: bagaimana cara menentukan eksistensi, kuantitas, dan formulasi matematis dari solusi sistem secara deterministik? Jawabannya bersandar penuh pada evaluasi bentuk tereduksi RREF. Tiga kemungkinan karakteristik solusi (unik, tak hingga banyak, atau tidak ada solusi) ditentukan oleh dua parameter struktural utama: (1) kemunculan baris kontradiksi $0 = b$ dengan $b \neq 0$, dan (2) keberadaan kolom variabel tanpa elemen pivot.
Selain itu, bab ini memperkenalkan fondasi penting mengenai sistem persamaan linear homogen serta teorema krusial yang menjamin bahwa kondisi $n > m$ pasti melahirkan solusi non-trivial. Sebuah hasil analisis yang tampak sederhana namun memiliki implikasi serta konsekuensi yang sangat mendalam bagi pengembangan teori ruang vektor pada Bab 7 dan pemetaan nilai eigen pada Bab 10.
- Lakukan analisis struktural terhadap matriks-matriks di bawah ini. Tentukan matriks mana saja yang memenuhi kriteria Bentuk Eselon Baris (REF) murni, bentuk tereduksi (RREF), atau bukan keduanya. Jika dinyatakan gagal memenuhi syarat REF, jelaskan aturan eliminasi mana yang dilanggar:
- (a) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- (b) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
- (c) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- (d) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- Transformasikan matriks-matriks berikut hingga mencapai Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF) menggunakan metode komputasi aljabar yang runtut. Tunjukkan notasi kode Operasi Baris Elementer (OBE) pada setiap tahapan reduksinya:
- (a) $\begin{bmatrix} 0 & 3 & -6 \\ 2 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$
- (b) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & 3 & 7 \end{bmatrix}$
- (c) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
- Selesaikan setiap sistem persamaan linear berikut dengan menerapkan metode eliminasi penuh Gauss-Jordan (lanjutkan reduksi baris hingga membentuk matriks RREF sempurna, kemudian baca solusinya). Klasifikasikan apakah himpunan solusi sistem bersifat unik, tak hingga banyak, atau inkonsisten (tidak memiliki solusi):
- (a) $x_1 - x_2 + 3x_3 = 4$, $2x_1 + x_2 - x_3 = 2$, $x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 10$
- (b) $x_1 + x_2 - x_3 = 1$, $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2$, $3x_1 + 3x_2 - 3x_3 = 5$
- (c) $x_1 + 2x_2 + x_3 = 6$, $x_1 - x_2 + x_3 = 2$, $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$
- (d) $x_1 + 3x_2 - x_3 = 4$, $2x_1 + 6x_2 + 2x_3 = 0$
- Untuk masing-masing sistem persamaan linear parametrik di bawah ini, tentukan batasan nilai konstanta $h$ dan $k$ agar sistem tersebut berstatus konsisten, kemudian jabarkan himpunan solusinya berdasarkan nilai parameter tersebut:
- (a) $x_1 + x_2 = 3$, $2x_1 + hx_2 = k$
- (b) $x_1 - 3x_2 = 1$, $hx_1 - 3x_2 = k$
- Selesaikan seluruh rangkaian sistem persamaan linear homogen berikut. Analisis apakah sistem hanya memuat solusi trivial tunggal atau didukung oleh eksistensi solusi non-trivial. Jika ditemukan solusi non-trivial, formulasikan solusi umumnya ke dalam bentuk parametrik vektor yang baku:
- (a) $x_1 + x_2 - x_3 = 0$, $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0$
- (b) $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$, $x_1 + x_2 + x_3 = 0$, $3x_1 - 3x_2 + 3x_3 = 0$
- (c) $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$, $x_1 + x_3 = 0$
- Sebuah sistem persamaan linear homogen berukuran $m \times n$ dimodelkan oleh matriks koefisien $A$. Jika diketahui hasil reduksi baris elementer menunjukkan nilai $\text{rank}(A) = n$, berikan argumentasi teoretis aljabar yang logis mengapa sistem ini hanya dan pasti memuat solusi trivial.
- Soal Pemikiran Analitis: Berdasarkan teorema dasar aljabar linear, sistem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ dinyatakan konsisten jika dan hanya jika memenuhi identitas kesamaan nilai dimensi $\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])$. Mengapa kolom vektor konstanta $\mathbf{b}$ wajib diikutsertakan secara ketat di dalam analisis perhitungan nilai rank ini? Hubungkan penjelasan Anda dengan konsep independensi linear (kebebasan linear) antara baris-baris pembentuk ruang koefisien matriks $A$ dengan elemen konstanta pada vektor $\mathbf{b}$.