Operasi Matriks
Bab 2 menunjukkan bahwa matriks adalah alat untuk menyimpan dan memanipulasi sistem persamaan linear. Bab ini mendefinisikan tiga operasi aljabar pada matriks — penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian matriks — beserta sifat-sifatnya yang sering berbeda dari aritmetika biasa.
3.1 Penjumlahan dan Perkalian Skalar
Jika $A$ dan $B$ sama ukurannya ($m \times n$), maka jumlahan $A + B$ adalah matriks $m \times n$ yang entri-entrinya adalah jumlahan entri bersesuaian:
Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $k$ adalah skalar, maka $kA$ adalah matriks yang setiap entrinya dikalikan $k$:
Negatif matriks didefinisikan sebagai $-1 \cdot A$, yang ekuivalen dengan mengubah tanda setiap entri:
Untuk matriks $A, B, C$ berukuran sama dan skalar $k, h$:
- $A + B = B + A$ (komutatif)
- $(A + B) + C = A + (B + C)$ (asosiatif)
- $k(A + B) = kA + kB$
- $(k + h)A = kA + hA$
- $k(hA) = (kh)A$
- $A + \mathbf{0} = \mathbf{0} + A = A$ (matriks nol sebagai identitas penjumlahan)
- $0 \cdot A = \mathbf{0}$ (skalar nol kali matriks menghasilkan matriks nol)
3.2 Perkalian Matriks: Definisi
Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $n \times p$, maka perkalian $AB$ adalah matriks $m \times p$ yang entri $(i,j)$-nya adalah dot product baris ke-$i$ dari $A$ dengan kolom ke-$j$ dari $B$:
Syarat ukuran: jumlah kolom $A$ harus sama dengan jumlah baris $B$. Jika tidak, perkalian tidak terdefinisi.
3.2.1 Interpretasi Baris-Kali-Kolom
Baris ke-$i$ dari produk matriks $AB$ diperoleh dengan mengalikan baris ke-$i$ dari matriks $A$ ke setiap kolom yang ada pada matriks $B$ secara berurutan:
Tentukan elemen-elemen pada baris 2 dari hasil perkalian matriks $AB$ jika diketahui:
Ambil baris 2 dari $A$, yaitu $(\color{#2c6e49}{0,\; -1,\; 2})$, lalu lakukan operasi dot product terhadap kolom 1 dan kolom 2 dari matriks $B$:
- Entri kolom 1: $(0)(1) + (-1)(2) + (2)(3) = 0 - 2 + 6 = 4$
- Entri kolom 2: $(0)(4) + (-1)(1) + (2)(0) = 0 - 1 + 0 = -1$
Sehingga, elemen-elemen pada baris 2 dari matriks $AB$ adalah $\mathbf{\begin{bmatrix} 4 & -1 \end{bmatrix}}$.
3.2.2 Interpretasi Kolom
Kolom ke-$j$ dari matriks hasil $AB$ merupakan bentuk kombinasi linear dari kolom-kolom matriks $A$, di mana koefisien pengalinya diambil dari entri-entri pada kolom ke-$j$ matriks $B$:
Interpretasi struktural ini memegang peranan krusial: jika kita meninjau persamaan sistem linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, vektor konstanta $\mathbf{b}$ sejatinya hanyalah kombinasi linear dari kolom-kolom matriks $A$. Konsep dasar ini akan menjadi pilar utama pembahasan ruang vektor pada Bab 7 dan Bab 8.
Menggunakan matriks $A$ dan $B$ dari contoh sebelumnya, mari kita susun kolom 1 dari $AB$ melalui kombinasi linear kolom $A$ dengan koefisien pembobot dari kolom 1 matriks $B$ yaitu $\begin{bmatrix} \color{#2c6e49}{1} \\ \color{#2c6e49}{2} \\ \color{#2c6e49}{3} \end{bmatrix}$:
Verifikasi dengan Perkalian Matriks Penuh:
Untuk membuktikan kebenaran interpretasi di atas, mari kita hitung perkalian matriks secara menyeluruh:
Perhatikan kolom pertama dari matriks hasil akhir $AB$ terbukti bernilai $\begin{bmatrix} 13 \\ 4 \end{bmatrix}$ dan cocok secara sempurna ($\checkmark$) dengan hasil metode kombinasi linear kolom di atas.
3.2.3 Syarat Ukuran
Perkalian $AB$ hanya terdefinisi jika jumlah kolom $A$ sama dengan jumlah baris $B$. Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $r \times p$ dengan $n \neq r$, maka $AB$ tidak terdefinisi. Ini bukan "hasilnya matriks nol" — operasinya sama sekali tidak bermakna. Selalu periksa kesesuaian ukuran sebelum mengalikan.
| $A$ | $B$ | $AB$ | Status |
|---|---|---|---|
| $m \times \color{#2c6e49}{n}$ | $\color{#2c6e49}{n} \times p$ | $m \times p$ | ✓ terdefinisi |
| $m \times n$ | $r \times p$ dengan $\color{#dc2626}{n \neq r}$ | — | tidak terdefinisi |
| $n \times n$ | $n \times p$ | $n \times p$ | ✓ terdefinisi (kuadrat) |
3.3 Sifat-Sifat Perkalian Matriks
Misalkan $A$, $B$, dan $C$ adalah matriks dengan ukuran yang memenuhi syarat operasi perkalian dan penjumlahan, serta $c$ merupakan sebuah skalar real, maka berlaku sifat-sifat berikut:
- Asosiatif: $(AB)C = A(BC)$
- Distributif Kiri: $A(B + C) = AB + AC$
- Distributif Kanan: $(A + B)C = AC + BC$
- Asosiatif Skalar: $c(AB) = (cA)B = A(cB)$
Sifat Asosiatif memungkinkan kita menuliskan rantai perkalian panjang seperti $ABCD$ secara langsung tanpa memerlukan tanda kurung. Sifat Distributif Kiri dan Distributif Kanan menunjukkan bahwa aljabar matriks mendukung perluasan ekspresi linear. Namun, karena urutan perkalian sangat krusial, penjabaran dua suku binomial seperti $(A+B)(C+D)$ harus dijabarkan dengan mempertahankan urutan posisi kiri-kanan secara ketat menjadi $AC + AD + BC + BD$, bukan menggunakan metode perkalian silang bilangan real biasa.
3.3.1 Sifat Non-Komutatif
Secara umum, operasi perkalian matriks tidak bersifat komutatif, yang berarti $AB \neq BA$. Karakteristik ini merupakan perbedaan paling fundamental dan radikal antara aljabar matriks dengan aljabar bilangan real.
Mari kita uji urutan perkalian dari dua matriks persegi $A$ dan $B$ berikut:
Hitung hasil dari kedua skenario urutan perkalian:
Perbandingan di atas menunjukkan secara valid bahwa $AB \neq BA$. Bahkan ketika kedua matriks berbentuk persegi dan dimensi ukurannya memungkinkan kedua arah perkalian terdefinisi dengan sempurna, struktur elemen hasil akhirnya tetap menghasilkan output yang berbeda sepenuhnya.
Meskipun perkalian matriks secara umum bersifat non-komutatif, terdapat struktur matriks khusus yang selalu saling berkomutasi. Salah satu contoh klasiknya adalah perkalian antara sesama matriks diagonal dengan ukuran yang sama:
Jika kita membalik urutan perkaliannya, hasil entri diagonal utamanya tetap menghasilkan nilai yang sama secara mutlak:
Perkalian sesama matriks diagonal terbukti bersifat komutatif karena operasi internalnya diturunkan langsung dari perkalian skalar bilangan real biasa pada posisi komponen yang bersesuaian ($d_{ii} \cdot e_{ii} = e_{ii} \cdot d_{ii}$). Ingatlah bahwa ini adalah sebuah pengecualian struktural, bukan aturan umum aljabar matriks.
Selain sesama matriks diagonal, sifat komutatif $AB = BA$ ini juga dapat ditemukan pada beberapa skenario khusus lainnya, seperti perkalian matriks dengan matriks identitas ($AI = IA$), matriks dengan inversnya sendiri ($AA^{-1} = A^{-1}A$), atau matriks dengan variasi perpangkatan dirinya sendiri ($A^n A^m = A^m A^n$).
3.3.2 Pembatalan Tidak Berlaku (Failure of Cancellation Law)
Jika berlaku persamaan $AB = AC$ di mana $A \neq \mathbf{0}$, bukan berarti kita dapat menyimpulkan $B = C$. Pada aritmetika bilangan real, kita dapat dengan mudah membatalkan suku $A$ dengan cara mengalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{A}$. Namun pada aljabar matriks, operasi pembatalan tersebut tidak dapat dilakukan jika matriks $A$ tidak memiliki invers (matriks singular). Tanpa keberadaan $A^{-1}$, tidak ada cara legal untuk "menghilangkan" matriks $A$ dari kedua ruas persamaan.
Dalam aljabar matriks, jika $AB = AC$ dan $A \neq \mathbf{0}$, kita tidak bisa menyimpulkan bahwa $B = C$. Perhatikan perkalian berikut:
Meskipun kedua perkalian menghasilkan matriks yang sama ($AB = AC = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 12 \end{bmatrix}$) dan matriks $A$ bukan matriks nol, kita dapat melihat bahwa:
Artinya, hukum pembatalan kiri gagal beroperasi di sini. Hal ini terjadi karena matriks $A$ memiliki baris yang proporsional sehingga bersifat singular — ia tidak memiliki invers.
Operasi implikasi $AB = AC \Rightarrow B = C$ baru dinyatakan valid secara mutlak jika dan hanya jika matriks $A$ bersifat invertibel (memiliki invers). Dalam kondisi tersebut, kita dapat mengalikan kedua ruas dari sisi kiri menggunakan matriks invers tunggalnya:
Sifat pembatalan menggunakan invers ini akan menjadi teknik komputasi yang sangat vital pada Bab 4 untuk menyelesaikan persamaan sistem linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ secara langsung melalui formulasi $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Untuk dua buah matriks $A$ dan $B$ dengan ukuran yang memenuhi syarat perkalian:
Perhatikan bahwa urutan perkalian matriks menjadi terbalik setelah dikenakan operasi transpose. Penataan urutan ini bukan sebuah kebetulan — melainkan konsekuensi matematis langsung dari pemetaan entri indeks di mana baris ke-$i$ dari produk perkalian dibentuk oleh kombinasi linear kolom ke-$j$ dari elemen transposenya.
Mari kita buktikan validitas Teorema 3.3 secara numerik menggunakan matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.
Langkah 1: Hitung produk perkalian matriks $AB$, lalu lakukan operasi transpose:
Langkah 2: Transpose masing-masing matriks awal, lalu kalikan dengan urutan terbalik $B^T A^T$:
Perhatikan bahwa hasil akhir pada Langkah 1 dan Langkah 2 menghasilkan matriks yang identik secara sempurna:
Langkah ini menunjukkan bahwa hukum pembalikan urutan elemen transpose berlaku secara universal tanpa memedulikan apakah matriks awal bersifat simetris atau tidak.
| Non-komutatif | $AB \neq BA$ secara umum. Urutan perkalian posisi kiri-kanan tidak boleh ditukar sembarangan. |
| Pembatalan gagal | $AB = AC \implies B = C$ hanya valid jika $A$ memiliki invers (invertibel). |
| Ekspansi Kuadrat (FOIL) | $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$. Karena non-komutatif, ekspresi ini tidak bisa disederhanakan menjadi $A^2 + 2AB + B^2$. |
| Distribusi Pangkat | $(AB)^n \neq A^n B^n$ secara umum, kecuali jika matriks $A$ dan $B$ saling berkomutasi ($AB = BA$). |
| Transpose Terbalik | $(AB)^T = B^T A^T$. Operasi linear memaksa urutan produk penyusunnya terbalik secara sempurna. |
3.4 Transpose dan Sifatnya
Transpose diperkenalkan di Bab 1 sebagai penukaran baris dan kolom. Sekarang kita letakkan sifat-sifatnya secara sistematis dalam konteks operasi aljabar.
Untuk matriks berukuran sesuai dan skalar $k$:
- $(A^T)^T = A$ (transpose dua kali = matriks asli)
- $(A + B)^T = A^T + B^T$
- $(kA)^T = kA^T$
- $(AB)^T = B^T A^T$ (urutan terbalik; pembuktian dan contoh numerik lihat Teorema 3.3 serta Contoh 3.7)
Mari kita verifikasi sifat-sifat linearitas operasi transpose menggunakan dua matriks persegi berukuran $2 \times 2$ berikut:
Langkah 1: Verifikasi Sifat Penjumlahan $(A + B)^T = A^T + B^T$
Pertama, jumlahkan kedua matriks lalu lakukan transpose pada hasilnya:
Kedua, transpose masing-masing matriks secara individual lalu jumlahkan hasilnya:
Langkah 2: Verifikasi Sifat Perkalian Skalar $(kA)^T = kA^T$
Mari kita uji menggunakan skalar $k = 3$. Kalikan matriks dengan skalar terlebih dahulu, lalu lakukan transpose:
Sekarang, kalikan hasil transpose $A^T$ secara langsung dengan skalar tersebut:
Kedua pembuktian numerik di atas menunjukkan dengan jelas bahwa operasi transpose bersifat linier: mendahulukan penjumlahan atau perkalian skalar memberikan hasil yang identik secara mutlak dengan melakukan transpose di awal langkah.
Sifat $(A^T)^T = A$ selalu berlaku benar untuk setiap matriks persegi maupun persegi panjang. Namun, sifat $A^T = A$ hanya dipenuhi secara eksklusif oleh matriks simetris. Oleh karena itu, berlaku hubungan implikasi dua arah: $A \text{ simetris} \iff A^T = A$. Sifat identitas ini memberikan metode tercepat untuk memeriksa simetri suatu matriks di dalam pemrograman komputer: cukup lakukan transpose, lalu bandingkan seluruh entri elemennya dengan matriks asli.
3.5 Matriks Simetris, Antisimetris, dan Segitiga
3.5.1 Matriks Simetris
Karakteristik dasar matriks simetris telah diperkenalkan pada Bab 1. Sekarang kita akan meninjau bagaimana sifat simetris berinteraksi secara kompatibel dengan operasi aljabar linear lainnya:
Jika $A$ dan $B$ adalah dua buah matriks simetris dengan ukuran dimensi yang sama, maka berlaku aturan aljabar berikut:
- $A + B$ selalu bersifat simetris.
- $kA$ selalu bersifat simetris untuk setiap konstanta skalar $k$.
- Produk perkalian $AB$ tidak selalu simetris. Matriks $AB$ baru bersifat simetris jika dan hanya jika matriks $A$ dan $B$ saling berkomutasi, yaitu memenuhi syarat $AB = BA$.
3.5.2 Matriks Antisimetris (Skew-Symmetric)
Sebuah matriks persegi $A$ dikategorikan sebagai matriks antisimetris jika hasil operasi transposenya menghasilkan nilai negatif dari dirinya sendiri, ditulis secara matematis: $A^T = -A$, atau secara ekuivalen memenuhi relasi indeks $a_{ji} = -a_{ij}$ untuk seluruh kombinasi nilai $i$ dan $j$.
Mari kita uji matriks $A$ berikut menggunakan operasi transpose:
Konsekuensi Penting: Seluruh entri pada diagonal utama dari matriks antisimetris wajib bernilai nol. Hal ini dikarenakan berdasarkan definisi indeks, elemen diagonal utama memiliki nomor baris dan kolom yang sama ($i = j$), sehingga memicu persamaan linear tunggal: $a_{ii} = -a_{ii} \implies 2a_{ii} = 0 \implies \mathbf{a_{ii} = 0}$.
3.5.3 Matriks Segitiga (Triangular Matrices)
Matriks persegi $U$ didefinisikan sebagai matriks segitiga atas (Upper Triangular) jika memenuhi syarat entri $u_{ij} = 0$ untuk setiap posisi indeks di mana nomor baris lebih besar dari nomor kolom ($i > j$). Sebaliknya, matriks persegi $L$ disebut matriks segitiga bawah (Lower Triangular) jika memenuhi syarat entri $l_{ij} = 0$ untuk kondisi $i < j$.
Perkalian antara dua matriks segitiga atas akan selalu menghasilkan matriks segitiga atas (hal yang sama berlaku secara analog untuk matriks segitiga bawah). Selain itu, nilai determinan dari matriks segitiga mana pun adalah hasil kali dari seluruh elemen diagonal utamanya.
Mari kita kalikan dua buah matriks segitiga atas berukuran $3 \times 3$ berikut:
Analisis Hasil:
- Sifat Struktur: Perhatikan bahwa hasil perkalian matriks $C$ terbukti mempertahankan struktur matriks segitiga atas, di mana semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol secara sempurna.
- Sifat Determinan: Berdasarkan teorema, kita dapat menghitung determinan matriks hasil perkalian ($C$) secara langsung dari elemen diagonal utamanya tanpa ekspansi kofaktor: \[ \det(C) = 2 \times 15 \times 8 = 240 \]
Sebagai alternatif verifikasi, nilai ini juga konsisten dengan sifat determinan perkalian matriks $\det(C) = \det(A) \times \det(B)$, di mana $\det(A) = 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ dan $\det(B) = 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$. Perkalian keduanya memberikan hasil yang sama: $40 \times 6 = 240$.
3.5.4 Matriks Identitas
Matriks identitas $I_n$ adalah matriks persegi berukuran $n \times n$ di mana setiap entri pada diagonal utama bernilai $1$, sedangkan seluruh entri di luar diagonal utama bernilai $0$. Secara formal menggunakan fungsi delta Kronecker, $(I_n)_{ij} = 1$ jika $i=j$, dan $(I_n)_{ij} = 0$ jika $i \neq j$.
Misalkan $A$ adalah sebuah matriks berukuran $m \times n$, maka matriks identitas bertindak sebagai elemen netral perkalian dari kedua sisi:
- $I_m A = A$ (Identitas Kiri)
- $A I_n = A$ (Identitas Kanan)
Matriks $I_n$ memainkan peran yang identik dengan angka $1$ pada aljabar aritmetika bilangan real. Sebagai jembatan konseptual menuju Bab 4, sebuah matriks persegi $A$ dikatakan memiliki invers (invertibel) jika dan hanya jika terdapat matriks unik $A^{-1}$ sedemikian rupa sehingga hasil perkalian keduanya menghasilkan matriks identitas kembali, yaitu $A A^{-1} = A^{-1} A = I$.
3.6 Trace dan Perkalian Blok
3.6.1 Trace Matriks
Trace dari sebuah matriks persegi $A$, dinotasikan sebagai $\text{tr}(A)$, didefinisikan secara skalar sebagai jumlah total dari seluruh entri yang terletak pada diagonal utamanya:
Untuk dua matriks persegi $A$ dan $B$ berukuran sama, serta konstanta skalar $k \in \mathbb{R}$, berlaku sifat-sifat trace berikut:
- $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$
- $\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
- $\text{tr}(kA) = k \cdot \text{tr}(A)$
- $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ (Sifat Siklik Invarian)
1. Perhitungan Dasar Trace Matriks Persegi:
Operasi trace mengabaikan seluruh elemen di luar diagonal utama dan hanya menjumlahkan elemen diagonalnya saja:
2. Verifikasi Sifat Siklik $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$:
Misalkan kita memiliki dua matriks persegi $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$.
Pertama, kita hitung produk matriks $AB$ lalu ambil nilai trace-nya:
Kedua, kita balik urutan perkaliannya menjadi $BA$ lalu ambil nilai trace-nya:
Perhatikan bahwa meskipun hasil perkalian matriksnya sendiri menghasilkan entri yang berbeda jauh ($AB \neq BA$), nilai trace dari kedua produk tersebut terbukti sama secara mutlak ($\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) = 69$). Karakteristik ini menunjukkan bahwa trace bersifat invariant terhadap perubahan urutan perkalian siklik.
3.6.2 Perkalian Blok (Block Multiplication)
Jika matriks berukuran besar dipartisi menjadi beberapa sub-matriks kecil (blok), kita dapat melakukan operasi perkalian secara blok-per-blok — seolah-olah setiap sub-matriks tersebut bertindak sebagai elemen skalar tunggal — selama ukuran antar-blok memenuhi syarat kompatibilitas perkalian.
Jika matriks $A$ dan $B$ dipartisi menjadi sub-matriks sebagai berikut:
Maka hasil kali blok $AB$ dapat dihitung langsung dengan aturan baris-kolom standar:
Mari kita kalikan matriks $A$ dan $B$ berukuran $4 \times 4$ yang telah dipartisi menjadi blok-blok berukuran $2 \times 2$ menggunakan garis pemisah:
Dengan memanfaatkan struktur blok khusus ini (di mana $A_{21}=\mathbf{0}$ dan $B_{12}=\mathbf{0}$, serta terdapat blok identitas $I$), kita dapat menyederhanakan perhitungan formula blok menjadi jauh lebih ringkas:
Sebagai contoh perhitungan aktif, mari kita cari nilai dari sub-matriks hasil pada blok kiri-bawah ($A_{22}B_{21}$):
Dalam ilmu komputasi modern, memproses matriks berukuran ribuan elemen secara entri-per-entri akan memicu kemacetan (bottleneck) performa karena keterbatasan kecepatan transfer data pada memori utama (RAM). Perkalian blok memecah matriks raksasa menjadi sub-matriks kecil yang muat ke dalam L1/L2 CPU Cache Memory yang memiliki kecepatan akses jauh lebih tinggi. Strategi arsitektur perangkat keras ini mendasari efisiensi pustaka (library) komputasi performa tinggi seperti BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) serta sistem akselerator kecerdasan buatan (AI) pada GPU.
Bab 3 telah mengungkap seluruh struktur aljabar matriks elementer. Tiga operasi fundamental (penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian matriks) serta sifat-sifatnya membentuk fondasi kokoh untuk seluruh bab linear berikutnya. Sifat $(AB)^T = B^T A^T$ (Teorema 3.3) mungkin terlihat tidak intuitif pada awalnya, namun menjadi sangat natural saat disandingkan dengan sifat transpose lainnya seperti $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$ dan $(kA)^T = kA^T$ — menunjukkan bahwa segala sesuatu dipertahankan kecuali urutan operan dalam perkalian. Pada Bab 4, seluruh sifat ini akan digabungkan untuk menyusun Teorema Matriks Invertibel — sebuah daftar pernyataan ekuivalen yang menjadi pilar analisis utama sepanjang buku ini.
- Hitunglah hasil operasi aritmetika matriks dasar berikut:
- (a) $\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$
- (b) $3\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -1 \end{bmatrix}$
- (c) $-\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
- Misalkan kita memiliki matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ berukuran $2 \times 3$ dan matriks $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ berukuran $3 \times 2$. Hitunglah produk perkalian $AB$ dan $BA$. Apakah hasilnya menunjukkan sifat komutatif ($AB = BA$)? Jelaskan analisis dimensi Anda.
- Jika diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ dan hasil kalinya adalah $AB = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 12 & k \end{bmatrix}$, tentukan nilai konstanta $k$. (Petunjuk: Gunakan interpretasi baris-kali-kolom untuk mengisolasi baris 2 dari matriks $AB$).
- Hitunglah nilai operasi transpose dari perkalian vektor berikut: $\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right)^T$.
- Buktikan secara aljabar bahwa sifat $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$ terbukti valid untuk struktur matriks umum $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
- Buktikan secara analitis bahwa $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ menggunakan matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. Verifikasi pembuktian Anda dengan cara menghitung kedua produk matriks tersebut secara langsung terlebih dahulu.
- Tunjukkan secara bertahap bahwa sifat homogenitas $(kA)^T = kA^T$ terpenuhi jika diketahui matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ dan skalar pembobot $k = -2$.
- Selesaikan operasi perkalian matriks $4 \times 4$ berikut secara efisien menggunakan teknik perkalian blok dengan mempartisi matriks menjadi sub-matriks $2 \times 2$:
\[ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc|cc} 3 & 4 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 0 & 2 \\ \hline 2 & -1 & 7 & 8 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \end{array} \right] \]
- Jika matriks $A$ dan $B$ adalah matriks simetris dengan ukuran dimensi yang sama, buktikan bahwa hasil perkalian $AB$ hanya akan bersifat simetris jika dan hanya jika matriks $A$ dan $B$ saling berkomutasi ($AB = BA$).
- Temukan sepasang matriks non-nol berukuran $2 \times 2$ (bukan matriks identitas) yang bertindak sebagai pembagi nol, yaitu memenuhi kondisi $AB = \mathbf{0}$ namun ketika urutannya dibalik menghasilkan nilai tak-nol ($BA \neq \mathbf{0}$).
- Soal Pemikiran: Teorema 3.3 menyatakan bahwa $(AB)^T = B^T A^T$. Jika kita memiliki tiga buah matriks dengan dimensi ukuran yang serasi ($A$ berukuran $m \times n$, $B$ berukuran $n \times p$, dan $C$ berukuran $p \times q$), jabarkan bagaimana sifat operasi transpose tersebut berdistribusi pada produk tiga matriks $(ABC)^T$. Apakah urutannya berbalik secara penuh menjadi $C^T B^T A^T$? Buktikan menggunakan asosiasivitas produk $(AB)C$.